A região dada sob a curva y=(sqrt (x^3))/(sqrt (x^2)+4),0leqslant xleqslant 4 é girada ao redor do exo x. Calcule o volume do sólido de revolução Escolha uma opção: a. -(2-lnsqrt (5)) b. 4-(2-lnsqrt (5)) C. 2n(2-lnsqrt (5)) d. 4pi cdot (2-lnsqrt (5)) e. 3pi vert 2-lnsqrt (5)

Para calcular o volume do sólido de revolução, podemos usar o método dos discos ou anéis. Neste caso, vamos usar o método dos discos.<br /><br />O volume de um disco é dado pela fórmula $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio e $h$ é a altura.<br /><br />No caso da curva $y = \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2 + 4}}$, podemos observar que o raio é dado por $r = \sqrt{x^2 + 4}$ e a altura é $h = \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2 + 4}}$.<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula do volume, temos:<br /><br />$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x^2 + 4})^2 \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2 + 4}} dx$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$V = \pi \int_{0}^{4} \sqrt{x^2 + 4} \cdot \sqrt{x^3} dx$<br /><br />Podemos reescrever a expressão como:<br /><br />$V = \pi \int_{0}^{4} \sqrt{x^3 + 4x^2} dx$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $u = x^3 + 4x^2$, então $du = (3x^2 + 8x) dx$. Reescrevendo a integral em termos de $u$, temos:<br /><br />$V = \pi \int_{0}^{4} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3x^2 + 8x} du$<br /><br />Podemos simplificar a expressão como:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{x^2 + \frac{8}{3}x} du$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $v = x^2 + \frac{8}{3}x$, então $dv = (2x + \frac{8}{3}) dx$. Reescrevendo a integral em termos de $v$, temos:<br /><br /> = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{v} dv$<br /><br />Podemos simplificar a expressão como:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{v} dv$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $w = \sqrt{u}$, então $dw = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$. Reescrevendo a integral em termos de $w$, temos:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} w \cdot \frac{1}{v} dw$<br /><br />Podemos simplificar a expressão como:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} \frac{w}{v} dw$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $z = \frac{w}{v}$, então $dz = \frac{dw}{v} - \frac{w dv}{v^2}$. Reescrevendo a integral em termos de $z$, temos:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} z v dw$<br /><br />Podemos simplificar a expressão como:<br /><br />$V = \pi}{3} \int_{0}^{4} z v dw$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $t = z$, então $dt = \frac{dz}{v}$. Reescrevendo a integral em termos de $t$, temos:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int}^{4} t v dw$<br /><br />Podemos simplificar a expressão como:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} t v dw$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $s = t$, então $ds = dt$. Reescrevendo a integral em termos de $s$, temos:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} s v dw$<br /><br />Podemos simplificar a expressão como:<br /><br />$V = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{4} s v dw$<br /><br />Para resolver essa integral