5. Salare uma ruta marcam - se 8 pentos, sabre vetra ruta, paralela a primira, marcam - se 5 pantos. Quantos triângulos elotermes unindo 3 pontos quaisquer do tatal desses pontos?

Para resolver esse problema, precisamos calcular o número de triângulos formados pela união de 3 pontos quaisquer dos 13 pontos dados.<br /><br />Primeiro, vamos determinar o número de triângulos formados pela união de 3 pontos quaisquer dos 8 pontos da primeira linha. Isso pode ser feito usando a fórmula de combinação, que é dada por C(n, k), onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos que estamos escolhendo.<br /><br />C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 56<br /><br />Agora, vamos determinar o número de triângulos formados pela união de 3 pontos quaisquer dos 5 pontos da segunda linha. Novamente, usamos a fórmula de combinação:<br /><br />C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10<br /><br />No entanto, precisamos ajustar isso, pois estamos contando triângulos que têm vértices em ambas as linhas. Portanto, precisamos calcular a interseção desses dois conjuntos.<br /><br />Para isso, precisamos calcular o número de triângulos formados pela união de 3 pontos quaisquer dos 13 pontos dados, mas de uma maneira diferente. Vamos usar a fórmula de combinação generalizada:<br /><br />C(n, k, m) = C(n, k) + C(n, m) - C(k, m)<br /><br />Onde n é o número total de elementos, k é o número de elementos da primeira linha e m é o número de elementos da segunda linha.<br /><br />C(13, 3, 5) = C(13, 3) + C(13, 5) - C(3, 5)<br /><br />C(13, 3) = 13! / (3! * 10!) = 286<br />C(13, 5) = 13! / (5! * 8!) = 1287<br />C(3, 5) = 0 (porque não temos 5 pontos na primeira linha)<br /><br />Então, o número total de triângulos formados pela união de 3 pontos quaisquer dos 13 pontos dados é:<br /><br />C(13, 3, 5) = 286 + 1287 - 0 = 1473<br /><br />Portanto, o número de triângulos formados pela união de 3 pontos quaisquer dos 13 pontos dados é 1473.