Seja o vetor u=(1,0,-1) e o vetor v=(2,-1,3) Encontre o vetor unitário na direção do produto vetonal utimes v A (-(1)/(3sqrt (3)),-(5)/(3sqrt (3)),-(1)/(3sqrt (3))) B (-1,-5,-1) C ((1)/(3sqrt (3)),(5)/(3sqrt (3)),(1)/(3sqrt (3))) D. (-(1)/(sqrt (3)),-(5)/(sqrt (3)),-(1)/(sqrt (3)))

Para encontrar o vetor unitário na direção do produto vetorial \( u \times v \), primeiro precisamos calcular o produto vetorial entre \( u \) e \( v \).<br /><br />Dado que \( u = (1, 0, -1) \) e \( v = (2, -1, 3) \), o produto vetorial \( u \times v \) é calculado da seguinte forma:<br /><br />\[<br />u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}<br />\]<br /><br />Calculando o determinante, obtemos:<br /><br />\[<br />u \times v = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2)<br />\]<br /><br />\[<br />u \times v = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(-1 - 0)<br />\]<br /><br />\[<br />u \times v = -\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k}<br />\]<br /><br />Portanto, \( u \times v = (-1, -5, -1) \).<br /><br />Agora, para encontrar o vetor unitário na direção de \( u \times v \), dividimos cada componente de \( u \times v \) pela sua magnitude. A magnitude de \( u \times v \) é dada por:<br /><br />\[<br />\|u \times v\| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}<br />\]<br /><br />Assim, o vetor unitário na direção de \( u \times v \) é:<br /><br />\[<br />\frac{u \times v}{\|u \times v\|} = \left( \frac{-1}{3\sqrt{3}}, \frac{-5}{3\sqrt{3}}, \frac{-1}{3\sqrt{3}} \right)<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />A. \((- \frac{1}{3\sqrt{3}}, - \frac{5}{3\sqrt{3}}, - \frac{1}{3\sqrt{3}})\)