Questão 4 Ainda não respondida Vale 3.00 ponto(s) P Marcar questio Para quais valores abaixo a série sum _(n=0)^infty (n^2)/(4^n)(x-4)^2n converge? A. 1-2,2[ B. vert -1,4vert C. 12,61 D. vert -4.4vert

Para determinar os valores para os quais a série \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{4^n} (x-4)^{2n}\) converge, podemos usar o teste da razão.<br /><br />Considere a razão \(L\) da série:<br /><br />\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]<br /><br />onde \(a_n = \frac{n^2}{4^n} (x-4)^{2n}\).<br /><br />Calculamos \(a_{n+1}\):<br /><br />\[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{4^{n+1}} (x-4)^{2(n+1)} \]<br /><br />A razão \(L\) é:<br /><br />\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(n+1)^2}{4^{n+1}} (x-4)^{2(n+1)}}{\frac{n^2}{4^n} (x-4)^{2n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{4(n+1)} \cdot \frac{1}{4} \cdot (x-4)^2 \right| \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ L = \left| \frac{(n+1)}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot (x-4)^2 \right| = \left| \frac{(n+1)}{16} \cdot (x-4)^2 \right| \]<br /><br />Para que a série converge, \(L\) deve ser menor que 1:<br /><br />\[ \left| \frac{(n+1)}{16} \cdot (x-4)^2 \right| < 1 \]<br /><br />Para \(n \to \infty\), \(\frac{(n+1)}{16} \to \infty\), então precisamos que \((x-4)^2 < \frac{1}{16}\):<br /><br />\[ (x-4)^2 < \frac{1}{16} \]<br /><br />Tomando a raiz quadrada em ambos os lados:<br /><br />\[ |x-4| < \frac{1}{4} \]<br /><br />Portanto, a série converge para valores de \(x\) que satisfazem:<br /><br />\[ -\frac{1}{4} < x - 4 < \frac{1}{4} \]<br /><br />ou<br /><br />\[ 3.75 < x < 4.25 \]<br /><br />Convertendo para intervalo aberto:<br /><br />\[ 3.75 < x < 4.25 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />B. \(\vert -1,4\vert \)