1. Calcule a integral da função dada a seguir pela expansão em frações parciais. int (x+1)/(x^3)-7x+6dx

Para calcular a integral da função dada pela expansão em frações parciais, primeiro precisamos decompor a função em frações parciais. <br /><br />Podemos escrever a função como:<br /><br />$\frac {x+1}{x^{3}-7x+6} = \frac {A}{x-1} + \frac {B}{x+1} + \frac {C}{x-6}$<br /><br /> ambos os lados por $x^{3}-7x+6$, temos:<br /><br />$x+1 = A(x+1)(x-6) + B(x-1)(x-6) + C(x-1)(x+1)$<br /><br />Agora, podemos igualar os coeficientes de $x$ e os termos constantes em ambos os lados da equação:<br /><br />$1 = A(x+1)(x-6) + B(x-1)(x-6) + C(x-1)(x+1)$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos os valores de $A$, $B$ e $C$:<br /><br />$1 = A(x^2 - 5x - 6) + B(x^2 - + 6) + C(x^2 - 1)$<br /><br />Igualando os coeficientes de $x^2$, $x$ e o termo constante, temos:<br /><br />$1 = (A + B + C)x^2 + (-5A - 7B - C)x + (-6A + 6B - C)$<br /><br />Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:<br /><br />$A + B + C = 0$<br /><br />$-5A - 7B - C = 0$<br /><br />$-6A + 6B - C = 1$<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos:<br /><br />$A = 1$<br /><br />$B = -\frac{1}{6}$ -\frac{2}{3}$<br /><br />Agora, podemos substituir esses valores na expressão original e calcular a integral:<br /><br />$\int \frac {x+1}{x^{3}-7x+6}dx = \int \left(\frac {1}{x-1} - \frac {1}{6(x+1)} - \frac {2}{3(x-6)}\right)dx$<br /><br />Aplicando as propriedades da integral, temos:<br /><br />$\int \frac {1}{x-1}dx - \frac {1}{6}\int \frac {1}{x+1}dx - \frac {2}{3}\int \frac {1}{x-6}dx$<br /><br />Agora, podemos calcular cada umarais separadamente:<br /><br />$\int \frac {1}{x-1}dx = \ln |x-1| + C_1$<br /><br />$\int \frac {1}{x+1}dx = \ln |x+1| + C_2$<br /><br />$\int \frac {1}{x-6}dx = \ln |x-6| + C_3$<br /><br />Portanto, a integral da função dada é:<br /><br />$\int \frac {x+1}{x^{3}-7x+6}dx = \ln |x-1| - \frac {1}{6}\ln |x+1| - \frac {2}{3}\ln |x-6| + C$<br /><br />onde $C = C_1 + C_ C_3$ é a constante de integração.