4. Seja Tuma transformação linear em R^3 dada por T(x,y,z)=(z,x-y,-z) Indique: a) Núcleo b) Dimensão da Im (T) (USE O TEOREMA DO NỨCLEO E DA IMAGEM)

Para resolver a questão, vamos seguir os passos necessários para encontrar o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear \( T \).<br /><br />### a) Núcleo de \( T \)<br /><br />O núcleo de \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) que são transformados em zero pelo operador \( T \). Ou seja, precisamos resolver a equação:<br /><br />\[ T(x, y, z) = (z, x - y, -z) = (0, 0, 0) \]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />1. \( z = 0 \)<br />2. \( x - y = 0 \)<br />3. \( -z = 0 \)<br /><br />Das condições acima, temos:<br /><br />1. \( z = 0 \)<br />2. \( x = y \)<br /><br />Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça \( z = 0 \) e \( x = y \) está no núcleo de \( T \). Em termos de vetores, o núcleo é:<br /><br />\[ \text{Núcleo}(T) = \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \} \]<br /><br />### b) Dimensão da imagem de \( T \)<br /><br />Para determinar a dimensão da imagem de \( T \), podemos usar o teorema do núcleo e da imagem. Este teorema nos diz que:<br /><br />\[ \dim(\text{Im}(T)) + \dim(\text{Núcleo}(T)) = \dim(\mathbb{R}^3) \]<br /><br />Sabemos que:<br /><br />- \( \dim(\mathbb{R}^3) = 3 \)<br />- \( \dim(\text{Núcleo}(T)) = 1 \) (porque o núcleo é gerado por um vetor linearmente independente, \( (1, 1, 0) \))<br /><br />Aplicando o teorema:<br /><br />\[ \dim(\text{Im}(T)) + 1 = 3 \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ \dim(\text{Im}(T)) = 2 \]<br /><br />### Conclusão<br /><br />a) O núcleo de \( T \) é:<br /><br />\[ \text{Núcleo}(T) = \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \} \]<br /><br />b) A dimensão da imagem de \( T \) é:<br /><br />\[ \dim(\text{Im}(T)) = 2 \]