Considere as funçōes f(x)=x^2-5x+2keg(x)=(2x+4)/(k) sendo k um número real não nulo. Sabendo que f(k)=0 . 0 valor de f(g(4)) (A) 0. (B) -4 (C) -2 (D) 2. (E) 4.

Para encontrar o valor de \( f(g(4)) \), precisamos primeiro encontrar o valor de \( g(4) \) e depois substituí-lo na função \( f(x) \).<br /><br />Dado que \( g(x) = \frac{2x+4}{k} \), podemos substituir \( x = 4 \) para encontrar \( g(4) \):<br /><br />\[ g(4) = \frac{2(4)+4}{k} = \frac{8+4}{k} = \frac{12}{k} \]<br /><br />Agora, substituímos \( g(4) \) na função \( f(x) \):<br /><br />\[ f(g(4)) = f\left(\frac{12}{k}\right) = \left(\frac{12}{k}\right)^2 - 5\left(\frac{12}{k}\right) + 2 \]<br /><br />Sabemos que \( f(k) = 0 \), então \( k \) é uma raiz da equação \( x^2 - 5x + 2 = 0 \). Portanto, podemos escrever \( k \) como a raiz da equação quadrática:<br /><br />\[ k = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \]<br /><br />Como \( k \) é um número real não nulo, podemos escolher a raiz positiva:<br /><br />\[ k = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \]<br /><br />Agora, substituímos \( k \) na expressão \( f(g(4)) \):<br /><br />\[ f(g(4)) = \left(\frac{12}{\frac{5 + \sqrt{21}}{2}}\right)^2 - 5\left(\frac{12}{\frac{5 + \sqrt{21}}{2}}\right) + 2 \]<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos que \( f(g(4)) = -4 \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (B) \( -4 \).