A soma das raizes da equação 4sen^4x-5sen^2x+1=0 no intervalo [0,2pi ] vale: A (9pi )/(2) B (17pi )/(3) C 6pi D (3pi )/(2) E

Para resolver essa equação, podemos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos substituir $y = \sin^2(x)$, de modo que a equação se transforme em $4y^2 - 5y + 1 = 0$. Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $y$.<br /><br />Usando a fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$<br /><br />Onde $a = 4$, $b = -5$ e $c = 1$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$<br /><br />Isso nos dá dois valores para $y$: $y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ e $y_2 = \frac{8}{4} = 2$.<br /><br />Agora, precisamos encontrar os valores de $x$ correspondentes a esses valores de $y$. Lembrando que $y = \sin^2(x)$, temos:<br /><br />$\sin^2(x) = \frac{1}{2}$ e $\sin^2(x) = 2$<br /><br />Para $\sin^2(x) = \frac{1}$, temos $\sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Isso ocorre quando $x = \frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$.<br /><br />Para $\sin^2(x) = 2$, não há solução, pois o valor máximo de $\sin(x)$ é 1.<br /><br />Portanto, a soma das raízes da equação no intervalo $[0, 2\pi]$ é:<br /><br />$\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção C: $6\pi$.