Parte 3: Derivadas com a Regra da Cadeia Calcule as derivadas das seguintes funções compostas usando a regra da cadeia: 1 f(x)=(3x^2+2x+1)^4 2. g(x)=sqrt (5x^3-4x) 3 h(x)=(2x-1)^3/2 4. j(x)=(x+sqrt (x)+1)^5

Vamos calcular as derivadas das funções compostas usando a regra da cadeia:<br /><br />1. $f(x)=(3x^{2}+2x+1)^{4}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externa, que é uma potência, e depois multiplicamos pelo resultado da derivada da função interna, que é um polinômio.<br /><br />Derivando a função externa, temos $4(3x^{2}+2x+1)^{3}$. Agora, derivamos a função interna, que é um polinômio, e obtemos $6x+2$. Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos os resultados:<br /><br />$f'(x) = 4(3x^{2}+2x+1)^{3}(6x+2)$<br /><br />2. $g(x)=\sqrt {5x^{3}-4x}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, aplicamos novamente a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externa, que é uma raiz quadrada, e depois multiplicamos pelo resultado da derivada da função interna, que é um polinômio.<br /><br />Derivando a função externa, temos $\frac{1}{2}(5x^{3}-4x)^{-\frac{1}{2}}$. Agora, derivamos a função interna, que é um polinômio, e obtemos $15x^{2}-4$. Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos os resultados:<br /><br />$g'(x) = \frac{1}{2}(5x^{3}-4x)^{-\frac{1}{2}}(15x^{2}-4)$<br /><br />3. $h(x)=(2x-1)^{3/2}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, aplicamos novamente a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externa, que é uma potência, e depois multiplicamos pelo resultado da derivada da função interna, que é uma linha reta.<br /><br />Derivando a função externa, temos $\frac{3}{2}(2x-1)^{\frac{1}{2}}$. Agora, derivamos a função interna, que é uma linha reta, e obtemos 2. Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos os resultados:<br /><br />$h'(x) = \frac{3}{2}(2x-1)^{\frac{1}{2}}(2)$<br /><br />4. $j(x)=(x+\sqrt {x}+1)^{5}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, aplicamos novamente a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externa, que é uma potência, e depois multiplicamos pelo resultado da derivada da função interna, que é uma soma de termos.<br /><br />Derivando a função externa, temos $5(x+\sqrt {x}+1)^{4}$. Agora, derivamos a função interna, que é uma soma de termos, e obtemos $1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos os resultados:<br /><br />$j'(x) = 5(x+\sqrt {x}+1)^{4}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$