(1) Encontrar os intervalos onde f i cresentol o.eres vente [ f(x)=x^1 / 3(x+4) ]

Para determinar os intervalos onde a função \( f(x) = x^{1/3}(x+4) \) é crescente, precisamos analisar o comportamento da função em relação a \( x \).<br /><br />Primeiro, vamos encontrar a derivada da função \( f(x) \) para determinar os pontos críticos e a concavidade da função.<br /><br />A derivada de \( f(x) \) é dada por:<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{1/3}(x+4) \right)<br />\]<br /><br />Para calcular a derivada, usamos a regra do produto:<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right) \cdot (x+4) + x^{1/3} \cdot \frac{d}{dx} \left( x+4 \right)<br />\]<br /><br />Calculando as derivadas individuais:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right) = \frac{1}{3} x^{-2/3}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx} \left( x+4 \right) = 1<br />\]<br /><br />Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do produto:<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} (x+4) + x^{1/3} \cdot 1<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{1}{3} \frac{x+4}{x^{2/3}} + x^{1/3}<br />\]<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{x+4}{3x^{2/3}} + x^{1/3}<br />\]<br /><br />Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:<br /><br />\[<br />\frac{x+4}{3x^{2/3}} + x^{1/3} = 0<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos os termos por \( 3x^{2/3} \) para simplificar:<br /><br />\[<br />x+4 + 3x^{4/3} = 0<br />\]<br /><br />Resolvendo essa equação pode ser complicado, mas podemos observar que \( x \) deve ser negativo para que \( 3x^{4/3} \) seja negativo. Testando valores negativos, encontramos que \( x = -4 \) é uma solução.<br /><br />Agora, analisamos a concavidade da função. Calculamos a segunda derivada:<br /><br />\[<br />f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} \frac{x+4}{x^{2/3}} + x^{1/3} \right)<br />\]<br /><br />Para simplificar, podemos usar a regra do quociente e a regra do produto:<br /><br />\[<br />f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x+4}{3x^{2/3}} \right) + \frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right)<br />\]<br /><br />Calculando as derivadas:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx} \left( \frac{x+4}{3x^{2/3}} \right) = \frac{(x+4)' \cdot 3x^{2/3} - (x+4) \cdot (3x^{2/3})'}{3x^{4/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1 \cdot 3x^{2/3} - (x+4) \cdot 2x^{-1/3}}{3x^{4/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{3x^{2/3} - 2(x+4)x^{-1/3}}{3x^{4/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{3x^{2/3} - 2x^{2/3} - 8x^{-1/3}}{3x^{4/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{x^{2/3} - 8x^{-1/3}}{3x^{4/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1 - 8x^{-1}}{3x^{2/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1 - 8/x}{3x^{2/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{3x - 8}{3x^{5/3}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{3x - 8}{3x^{5/3}}<br />\]<br /><br />Para \( x = -4 \):<br /><br />\[<br />f''(-4) = \frac