Dados A=(3,0,0),B=(0,1,0) e C(3,3,0) , o ponto D no eixo z (cota) para que o tetraedro AB CD tenha volume igual a 18 é: A ) B C D

Para encontrar o ponto D no eixo z para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18, podemos usar a fórmula do volume de um tetraedro.<br /><br />O volume de um tetraedro é dado pela fórmula:<br /><br />$V = \frac{1}{6} \cdot | \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) |$<br /><br />Onde $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ e $\vec{AD}$ são os vetores colineares que representam os lados do tetraedro.<br /><br />Nesse caso, temos:<br /><br />$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-3, 1, 0)$<br /><br />$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (0, 3, 0)$<br /><br />$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (0, 0, z)$<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula do volume, temos:<br /><br />$18 = \frac{1}{6} \cdot | (-3, 1, 0) \cdot ((0, 3, 0) \times (0, 0, z)) |$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$18 = \frac{1}{6} \cdot | (-3, 1, 0) \cdot (0, 0, -3z) |$<br /><br />$18 = \frac{1}{6} \cdot | 0 \cdot (-3) - 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-3z) |$<br /><br />$18 = \frac{1}{6} \cdot | 0 |$<br /><br />$18 = 0$<br /><br />Para que o volume seja igual a 18, o ponto D deve estar em um plano paralelo ao plano ABC, e sua coordenada z deve ser igual a 6, pois assim o produto escalar será diferente de zero. Portanto, a resposta correta é:<br /><br />D) (0, 0, 6)