eterminar a derivada das seguinte a functies vetorials: f(t)=((2-t)/(2+t))i+(2-3t^2)overrightarrow (j) g'(t)=t^2cdot sentoverrightarrow (i)+(3-t)overrightarrow (j)+lnt^2overrightarrow (k)

Para determinar a derivada das funções vetoriais fornecidas, vamos derivar cada componente separadamente.<br /><br />Para a função $f(t)$:<br />- Derivando a componente $i$: $\frac{d}{dt}\left(\frac{2-t}{2+t}\right) = \frac{(2+t)(-1) - (2-t)(1)}{(2+t)^2} = \frac{-4}{(2+t)^2}$<br />- Derivando a componente $j$: $\frac{d}{dt}(2-3t^2) = -6t$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(t)$ é:<br />$f'(t) = \frac{-4}{(2+t)^2}\overrightarrow{i} - 6t\overrightarrow{j}$<br /><br />Para a função $g'(t)$:<br />- Derivando a componente $i$: $\frac{d}{dt}(t^2 \cdot \sin(t)) = 2t \cdot \sin(t) + t^2 \cdot \cos(t)$<br />- Derivando a componente $j$: $\frac{d}{dt}(3-t) = -1$<br />- Derivando a componente $k$: $\frac{d}{dt}(\ln(t^2)) = \frac{2t}{t^2} = \frac{2}{t}$<br /><br />Portanto, a derivada de $g'(t)$ é:<br />$g''(t) = (2t \cdot \sin(t) + t^2 \cdot \cos(t))\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \frac{2}{t}\overrightarrow{k}$