EXEMPLO 2 Ache o volume do sólido limitado pela superficie f(x,y)=4-(1)/(9)x^2-(1)/(16)y^2 pelos planos x=3,y=2 e pelos três planos coordenados.

Para encontrar o volume do sólido limitado pela superfície \( f(x,y) = 4 - \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{16}y^2 \) pelos planos \( x = 3 \), \( y = 2 \) e pelos três planos coordenados, precisamos calcular o volume sob a superfície.<br /><br />Primeiro, vamos calcular o volume sob a superfície pelos planos \( x = 3 \) e \( y = 2 \). Para isso, precisamos integrar a função \( f(x,y) \) em relação a \( x \) de 0 a 3 e em relação a \( y \) de 0 a 2:<br /><br />\[ V = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \left( 4 - \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{16}y^2 \right) dy dx \]<br /><br />Resolvendo essa integral, obtemos o volume sob a superfície pelos planos \( x = 3 \) e \( y = 2 \).<br /><br />Em seguida, vamos calcular o volume sob a superfície pelos três planos coordenados. Para isso, precisamos integrar a função \( f(x,y) \) em relação a \( x \) e \( y \) em todo o domínio:<br /><br />\[ V = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left( 4 - \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{16}y^2 \right) dy dx \]<br /><br />Resolvendo essa integral, obtemos o volume sob a superfície pelos três planos coordenados.<br /><br />Portanto, para encontrar o volume do sólido limitado pela superfície \( f(x,y) = 4 - \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{16}y^2 \) pelos planos \( x = 3 \), \( y = 2 \) e pelos três planos coordenados, precisamos calcular as duas integrais acima.