Questão 02 Determine os pontos criticos da função g(x)=x^4-12x^2+35 e classifique-os como máximo ou mínimo local

Para determinar os pontos críticos da função \( g(x) = x^4 - 12x^2 + 35 \) e classificá-los como máximos ou mínimos locais, siga os seguintes passos:<br /><br />1. **Calcule a primeira derivada \( g'(x) \):**<br /> \[<br /> g'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 12x^2 + 35) = 4x^3 - 24x<br /> \]<br /><br />2. **Encontre os pontos onde \( g'(x) = 0 \):**<br /> \[<br /> 4x^3 - 24x = 0<br /> \]<br /> Fatorando a equação:<br /> \[<br /> 4x(x^2 - 6) = 0<br /> \]<br /> Isso nos dá:<br /> \[<br /> x = 0 \quad \text{ou} \quad x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \sqrt{6} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{6}<br /> \]<br /><br />3. **Calcule a segunda derivada \( g''(x) \):**<br /> \[<br /> g''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 24x) = 12x^2 - 24<br /> \]<br /><br />4. **Avalie a segunda derivada nos pontos críticos para determinar se são máximos ou mínimos locais:**<br /><br /> - Para \( x = 0 \):<br /> \[<br /> g''(0) = 12(0)^2 - 24 = -24 \quad (\text{négativo, então } x = 0 \text{ é um máximo local})<br /> \]<br /><br /> - Para \( x = \sqrt{6} \):<br /> \[<br /> g''(\sqrt{6}) = 12(\sqrt{6})^2 - 24 = 12 \cdot 6 - 24 = 72 - 24 = 48 \quad (\text{positivo, então } x = \sqrt{6} \text{ é um mínimo local})<br /> \]<br /><br /> - Para \( x = -\sqrt{6} \):<br /> \[<br /> g''(-\sqrt{6}) = 12(-\sqrt{6})^2 - 24 = 12 \cdot 6 - 24 = 72 - 24 = 48 \quad (\text{positivo, então } x = -\sqrt{6} \text{ é um mínimo local})<br /> \]<br /><br />Portanto, os pontos críticos da função \( g(x) = x^4 - 12x^2 + 35 \) são:<br /><br />- \( x = 0 \) (máximo local)<br />- \( x = \sqrt{6} \) (mínimo local)<br />- \( x = -\sqrt{6} \) (mínimo local)