08. A soma dos 7 primeiros termos da progressão geométrica ((2)/(3),-1,(3)/(2),ldots ) é igual a: (A) 95/464 (B) 563/191 (C) 463/96 (D) 465/93 (E) 466/99

Para encontrar a soma dos 7 primeiros termos da progressão geométrica, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PG finita:<br /><br />$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$<br /><br />Onde:<br />- $S_n$ é a soma dos $n$ primeiros termos<br />- $a_1$ é o primeiro termo<br />- $r$ é a razão<br />- $n$ é o número de termos<br /><br />No caso da progressão geométrica $(\frac{2}{3}, -1, \frac{3}{2}, \ldots)$, podemos identificar os seguintes valores:<br />- $a_1 = \frac{2}{3}$<br />- $r = \frac{-1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$<br />- $n = 7$<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$S_7 = \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^7 - 1}{-\frac{3}{2} - 1}$<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos:<br /><br />$S_7 = \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{2187}{128}\right) - 1}{-\frac{5}{2}}$<br /><br />$S_7 = \frac{-\frac{4374}{384} - 1}{-\frac{5}{2}}$<br /><br />$S_7 = \frac{-\frac{4374}{384} - \frac{384}{384}}{-\frac{5}{2}}$<br /><br />$S_7 = \frac{-\frac{4758}{384}}{-\frac{5}{2}}$<br /><br />$S_7 = \frac{4758}{1920}$<br /><br />$S_7 = \frac{463}{96}$<br /><br />Portanto, a soma dos 7 primeiros termos da progressão geométrica é igual a $\frac{463}{96}$, o que corresponde à opção (C).