10. Determin e o conjunto solução S de cada uma das seg uintes equações do 2^circ grau, sendo U=R a) x^2-(4)/(5)x=(1)/(5) b) x+(x^2+4)/(5)=2

Vamos resolver cada uma das equações do segundo grau fornecidas:<br /><br />### a) \( x^2 - \frac{4}{5}x = \frac{1}{5} \)<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão \( ax^2 + bx + c = 0 \):<br /><br />\[ x^2 - \frac{4}{5}x - \frac{1}{5} = 0 \]<br /><br />Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:<br /><br />\[ 5x^2 - 4x - 1 = 0 \]<br /><br />Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:<br /><br />\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde \( a = 5 \), \( b = -4 \) e \( c = -1 \).<br /><br />Calculamos o discriminante (\( \Delta \)):<br /><br />\[ \Delta = b^2 - 4ac \]<br />\[ \Delta = (-4)^2 - 4(5)(-1) \]<br />\[ \Delta = 16 + 20 \]<br />\[ \Delta = 36 \]<br /><br />Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:<br /><br />\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{10} \]<br />\[ x = \frac{4 \pm 6}{10} \]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[ x_1 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]<br />\[ x_2 = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} \]<br /><br />Portanto, o conjunto solução \( S \) é:<br /><br />\[ S = \left\{ 1, -\frac{1}{5} \right\} \]<br /><br />### b) \( x + \frac{x^2 + 4}{5} = 2 \)<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão \( ax^2 + bx + c = 0 \):<br /><br />\[ x + \frac{x^2 + 4}{5} = 2 \]<br /><br />Multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar o denominador:<br /><br />\[ 5x + (x^2 + 4) = 10 \]<br />\[ x^2 + 5x + 4 = 10 \]<br />\[ x^2 + 5x + 4 - 10 = 0 \]<br />\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]<br /><br />Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:<br /><br />\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde \( a = 1 \), \( b = 5 \) e \( c = -6 \).<br /><br />Calculamos o discriminante (\( \Delta \)):<br /><br />\[ \Delta = b^2 - 4ac \]<br />\[ \Delta = 5^2 - 4(1)(-6) \]<br />\[ \Delta = 25 + 24 \]<br />\[ \Delta = 49 \]<br /><br />Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:<br /><br />\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} \]<br />\[ x = \frac{-5 \pm 7}{2} \]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[ x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]<br />\[ x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]<br /><br />Portanto, o conjunto solução \( S \) é:<br /><br />\[ S = \left\{ 1, -6 \right\} \]<br /><br />### Resumo<br /><br />a) \( S = \left\{ 1, -\frac{1}{5} \right\} \)<br /><br />b) \( S = \left\{ 1, -6 \right\} \)