Parte 5: Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas Calcule as derivadas das seguintes funções: 1 f(x)=x^x 2 g(x)=(2x+1)^x 3 h(x)=e^(x^(2+1)/(x+2)) 4 j(x)=(3x-2)^4x 5 k(x)=(x^2+1)^x^(3)

Vamos calcular as derivadas das funções fornecidas:<br /><br />1. $f(x)=x^{x}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, podemos usar a regra do logaritmo natural. Primeiro, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados da equação:<br /><br />$\ln(f(x)) = \ln(x^{x})$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo natural, podemos simplificar a expressão:<br /><br />$\ln(f(x)) = x \ln(x)$<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada de $f(x)$ aplicando a regra da cadeia:<br /><br />$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(f(x)))$<br /><br />$f'(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$<br /><br />$f'(x) = \frac{1}{x^{x}} \cdot (x \ln(x))$<br /><br />$f'(x) = \frac{x \ln(x)}{x^{x}}$<br /><br />$f'(x) = \frac{\ln(x)}{x}$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(x)$ é $\frac{\ln(x)}{x}$.<br /><br />2. $g(x)=(2x+1)^{x}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, podemos usar a regra do logaritmo natural. Primeiro, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados da equação:<br /><br />$\ln(g(x)) = \ln((2x+1)^{x})$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo natural, podemos simplificar a expressão:<br /><br />$\ln(g(x)) = x \ln(2x+1)$<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada de $g(x)$ aplicando a regra da cadeia:<br /><br />$g'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(g(x)))$<br /><br />$g'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$<br /><br />$g'(x) = \frac{1}{(2x+1)^{x}} \cdot (1 \cdot (2x+ + x \cdot 2)$<br /><br />$g'(x) = \frac{2x+1 + 2x}{(2x+1)^{x}}$<br /><br />$g'(x) = \frac{4x+1}{(2x+1)^{x}}$<br /><br />Portanto, a derivada de $g(x)$ é $\frac{4x+1}{(2x+1)^{x}}$.<br /><br />3. $h(x)=e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, podemos usar a regra da cadeia. Primeiro, tomamos a derivada do expoente:<br /><br />$h'(x) = e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac {x^{2}+1}{x+2}\right)$<br /><br />$h'(x) = e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}} \cdot \frac{(2x+0)(x+2)-(x^{21)(1)}{(x+2)^{2}}$<br /><br />$h'(x) = e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}} \cdot \frac{2x(x+2)-(x^{2}+1)}{(x+2)^{2}}$<br /><br />$h'(x) = e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}} \cdot \frac{2x^{2}+4x-x^{2}-1}{(x+2)^{2}}$<br /><br />$h'(x) = e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}} \cdot \frac{x^{2}+4x-1}{(x+2)^{2}}$<br /><br />Portanto, a derivada de $h(x)$ é $e^{\frac {x^{2}+1}{x+2}} \cdot \frac{x^{2}+4x-1}{(x+2)^{2}}$.<br /><br />4. $j(x)=(3x-2)^{4x}$<br /><br />Para calcular a derivada dessa função, podemos usar a regra do logaritmo natural., tomamos o logaritmo natural de ambos os lados da equação:<br /><br />$\ln(j(x)) = \ln((3x-2)^{4x})$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo natural, podemos simplificar a expressão:<br /><br />$\ln(j(x)) = 4x \ln(3x-2)$<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada de $j(x)$ aplicando a regra da