Para quais valores reais de k a equação x^2+y^2+4x-2y+k=0 representa uma circunterência? A k=1 B k=2 C klt 5 k=5 kgt 5

Para que a equação \(x^{2}+y^{2}+4x-2y+k=0\) represente uma circunferência, é necessário que a expressão seja igual a zero e que a matriz de coeficientes da segunda ordem seja não singular.<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a equação em forma padrão da equação da circunferência, que é \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), onde \((h,k)\) é o centro da circunferência e \(r\) é o raio.<br /><br />Para isso, vamos completar o quadrado para os termos \(4x\) e \(-2y\):<br /><br />\(x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4\)<br /><br />\(y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1\)<br /><br />Substituindo esses termos na equação original, temos:<br /><br />\((x+2)^{2}-4+(y-1)^{2}-1+k=0\)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=5-k\)<br /><br />Para que essa expressão seja igual a zero, é necessário que \(5-k\) seja positivo, ou seja, \(k\) deve ser menor que 5.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção C: \(k<5\).