6) Se overrightarrow (u) e overrightarrow (v) são vetores linearmente independentes demonstrar que existe um número real lambda e um só, tal que o vetor overrightarrow (h)=(1-lambda )overrightarrow (u)+lambda overrightarrow (v) seja ortogonal a overrightarrow (v)-overrightarrow (u)

Para demonstrar que existe um número real λ único, tal que o vetor $\overrightarrow{h} = (1-\lambda)\overrightarrow{u} + \lambda\overrightarrow{v}$ seja ortogonal a $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$, podemos usar a propriedade de vetores ortogonais.<br /><br />Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é igual a zero. Portanto, para que o vetor $\overrightarrow{h}$ seja ortogonal a $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$, devemos ter:<br /><br />$\overrightarrow{h} \cdot (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}) = 0$<br /><br />Substituindo $\overrightarrow{h}$ na equação, temos:<br /><br />$((1-\lambda)\overrightarrow{u} + \lambda\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}) = 0$<br /><br />Agora, podemos expandir o produto escalar:<br /><br />$(1-\lambda)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - (1-\lambda)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \lambda\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} - \lambda\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 0$<br /><br />Como $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ são vetores linearmente independentes, podemos afirmar que $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} \neq 0$ e $\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0$. Portanto, podemos simplificar a equação:<br /><br />$(1-\lambda)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - (1-\lambda)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \lambda\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} - \lambda\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 0$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação em relação a λ. Se a equação tiver uma única solução para λ, então podemos afirmar que existe um número real λ único, tal que o vetor $\overrightarrow{h}$ seja ortogonal a $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$.<br /><br />Portanto, a resposta correta é que existe um número real λ único, tal que o vetor $\overrightarrow{h} = (1-\lambda)\overrightarrow{u} + \lambda\overrightarrow{v}$ seja ortogonal a $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$.