1cdot 2+2cdot 3+... +(n-1)cdot n=(-(n-1)n(n+1))/(3)(n-1)n(n+1) 4) Prove que vert a_(1)+a_(2)+... +a_(n)vert geqslant vert a_(1)vert -vert a_(2)vert -... -vert a_(n)vert quaisquer que sejam os números reais a_(1),a_(2),ldots ,a_(n)

Para provar a desigualdade dada, vamos usar o método de indução matemática.<br /><br />**Base da indução:**<br />Para \( n = 1 \), temos \( |a_1| \geq |a_1| - |a_1| \), que é verdadeiro.<br /><br />**Hipótese de indução:**<br />Suponha que a desigualdade seja verdadeira para \( n = k \), ou seja, \( |a_1 + a_2 + \cdots + a_k| \geq |a_1| - |a_2| - \cdots - |a_k| \).<br /><br />**Passo da indução:**<br />Vamos provar que a desigualdade também é verdadeira para \( n = k+1 \).<br /><br />Considere a soma \( |a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}| \). Podemos escrever isso como \( |a_1 + a_2 + \cdots + a_k| + |a_{k+1}| \).<br /><br />De acordo com a hipótese de indução, temos:<br />\[ |a_1 + a_2 + \cdots + a_k| \geq |a_1| - |a_2| - \cdots - |a_k| \]<br /><br />Somando \( |a_{k+1}| \) em ambos os lados da desigualdade, obtemos:<br />\[ |a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}| \geq (|a_1| - |a_2| - \cdots - |a_k|) + |a_{k+1}| \]<br /><br />Simplificando, temos:<br />\[ |a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}| \geq |a_1| + |a_{k+1}| - |a_2| - \cdots - |a_k| \]<br /><br />Portanto, a desigualdade é verdadeira para \( n = k+1 \).<br /><br />**Conclusão:**<br />De acordo com o princípio de indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todos os números naturais \( n \geq 1 \).<br /><br />Portanto, a desigualdade \( |a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \geq |a_1| - |a_2| - \cdots - |a_n| \) é verdadeira para quaisquer números reais \( a_1, a_2, \ldots, a_n \).