3. (2 pts) Calcule a integral iint _(S)Fcdot dsigma (não utilize o teorema de Gauss) se F(x,y,z)=3xi+ 3yj-3k e S é a superficie exterior do paraboloide r(x,y)=xi+yj+(x^2+y^2) k, tal que x^2+y^2leqslant 4

Para calcular a integral de superfície \(\iint_{S} F \cdot d\sigma\), precisamos primeiro entender a superfície \(S\) e a função \(F\). A superfície \(S\) é o parabolóide dado por \(r(x, y) = xi + yj + (x^2 + y^2)k\), onde \(x^2 + y^2 \leq 4\). A função \(F(x, y, z)\) é dada por \(F(x, y, z) = 3xi + 3yj - 3k\).<br /><br />Para calcular a integral de superfície, precisamos calcular a integral de \(F \cdot d\sigma\) sobre a superfície \(S\). Para isso, precisamos encontrar a expressão de \(d\sigma\), que é a área elementar da superfície \(S\).<br /><br />Para encontrar \(d\sigma\), podemos usar a fórmula de Stokes, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial \(F\) integral de linha de seu rotador curlado \(\nabla \times F\) ao longo do contorno \(C\) que delimita a superfície \(S\).<br /><br />O rotador curlado de \(F\) é dado por:<br /><br />\[<br />\nabla \times F = \left( \begin{array}{ccc}<br />\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} & \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \\<br />\end{array} \right)<br />\]<br /><br />Calculando as derivadas parciais, temos:<br /><br />\[<br />\nabla \times F = \left( \begin{array}{ccc}<br />0 - (-3) & -3 - 0 & 0 - 0 \\<br />\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}<br />3 & -3 & 0 \\<br />\end{array} \right)<br />\]<br /><br />O contorno \(C\) é a fronteira da região \(x^2 + y^2 \leq 4\), que é um círculo de raio 2 unidades centrado em \((0, 0)\).<br /><br />A fórmula de Stokes é dada por:<br /><br />\[<br />\iint_{S} F \cdot d\sigma = \int_{C} (\nabla \times F) \cdot d\mathbf{r}<br />\]<br /><br />onde \(d\mathbf{r}\) é o vetor tangente à curva \(C\) no ponto \(r(t)\), com \(t\) variando de 0 a \(2\pi\).<br /><br />Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar o contorno \(C\). Uma possível parametrização é \(r(t) = 2\cos(t)\mathbf{i} + 2\sin(t)\mathbf{j}\), onde \(t\) varia de 0 a \(2\pi\).<br /><br />Calculando o vetor tangente, temos:<br /><br />\[<br />d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt = (-2\sin(t)\mathbf{i} + 2\cos(t)\mathbf{j}) dt<br />\]<br /><br />Substituindo na integral de linha, temos:<br /><br />\[<br />\int_{C} (\nabla \times F) \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} (3\mathbf{i} - 3\mathbf{j}) \cdot (-2\sin(t)\mathbf{i} + 2\cos(t)\mathbf{j}) dt<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2\pi} (-6\sin(t) + 6\cos(t)) dt<br />\]<br /><br />Calculando as integrais separadamente, temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2\pi} -6\sin(t) dt = -6\left[\cos(t)\right]_{0}^{2\pi} = -6(\cos(2\pi) - \cos(0)) = -6(1 - 1) = 0<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2\pi} 6\cos(t) dt = 6\left[\sin(t)\right]_{0}^{2\pi} = 6(\sin(2\pi) - \sin(0)) = 6(0 - 0) = 0<br />\]<br /><br />Somando