) a+2b+c=9 2a+b-c=3 3a-b-2c=-4

Para resolver o sistema de equações lineares dado, podemos usar o método de eliminação ou o método de substituição. Vou utilizar o método de eliminação para encontrar o valor de cada variável.<br /><br />Primeiro, vamos eliminar o coeficiente de \(b\) na segunda equação. Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair a segunda equação da primeira:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />2(a + 2b + c) &= 2(9) \\<br />2a + 4b + 2c &= 18 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />(2a + 4b + 2c) - (2a + b - c) &= 18 - 3 \\<br />2a + 4b + 2c - 2a - b + c &= 15 \\<br />3b + 3c &= 15 \\<br />b + c &= 5 \quad \text{(Equação 4)}<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora, vamos eliminar o coeficiente de \(b\) na terceira equação. Para isso, vamos multiplicar a segunda equação por 3 e subtrair a terceira equação da segunda:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />3(2a + b - c) &= 3(3) \\<br />6a + 3b - 3c &= 9 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora, subtraímos a terceira equação da segunda:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />(6a + 3b - 3c) - (3a - b + 2c) &= 9 - (-4) \\<br />6a + 3b - 3c - 3a + b - 2c &= 13 \\<br />3a + 4b - 5c &= 13 \quad \text{(Equação 5)}<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora, vamos substituir o valor de \(b\) da Equação 4 na Equação 5 para encontrar o valor de \(c\):<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />3a + 4b - 5c &= 13 \\<br />3a + 4(5 - c) - 5c &= 13 \\<br />3a + 20 - 4c - 5c &= 13 \\<br />3a - 9c &= -7 \\<br />c &= \frac{3a + 7}{9}<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora, substituímos o valor de \(c\) na Equação 4 para encontrar o valor de \(b\):<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />b + \frac{3a + 7}{9} &= 5 \\<br />9b + 3a + 7 &= 45 \\<br />9b &= 38 - 3a \\<br />b &= \frac{38 - 3a}{9}<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Por fim, substituímos os valores de \(b\) e \(c\) na primeira equação para encontrar o valor de \(a\):<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />a + 2b + c &= 9 \\<br />a + 2\left(\frac{38 - 3a}{9}\right) + \left(\frac{3a + 7}{9}\right) &= 9 \\<br />9a + 38 - 3a + 3a + 7 &= 81 \\<br />9a &= 36 \\<br />a &= 4<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora que encontramos o valor de \(a\), podemos substituí-lo nas equações anteriores para encontrar os valores de \(b\) e \(c\):<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />b &= \frac{38 - 3(4)}{9} \\<br />&= \frac{38 - 12}{9} \\<br />&= \frac{26}{9} \\<br />&\approx 2,89 \\<br />c &= \frac{3(4) + 7}{9} \\<br />&= \frac{12 + 7}{9} \\<br />&= \frac{19}{9} \\<br />&\approx 2,11<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Portanto, a solução do sistema de equações é \(a = 4\), \(b \approx 2,89\) e \(c \approx 2,11\).