Caio e Marcos precisavam encontrar uma fórmula explícita para a progressão 4 , 12, 36 , 108, __ na qual o primeiro termo deve ser g(1) Caio disse que a fórmula é g(n)=4cdot 3^n e Marcos disse que a fórmula é g(n)=4cdot 4^n-1 Quem está certo?

Vamos verificar as fórmulas propostas por Caio e Marcos para determinar qual delas está correta.<br /><br />### Fórmula de Caio: \( g(n) = 4 \cdot 3^n \)<br /><br />Vamos calcular os primeiros termos usando essa fórmula:<br />- Para \( n = 1 \): \( g(1) = 4 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \)<br />- Para \( n = 2 \): \( g(2) = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \)<br />- Para \( n = 3 \): \( g(3) = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 \)<br /><br />Os termos calculados não correspondem à progressão dada (4, 12, 36, 108, __). Portanto, a fórmula de Caio está incorreta.<br /><br />### Fórmula de Marcos: \( g(n) = 4 \cdot 4^{n-1} \)<br /><br />Vamos calcular os primeiros termos usando essa fórmula:<br />- Para \( n = 1 \): \( g(1) = 4 \cdot 4^{1-1} = 4 \cdot 4^0 = 4 \cdot 1 = 4 \)<br />- Para \( n = 2 \): \( g(2) = 4 \cdot 4^{2-1} = 4 \cdot 4^1 = 4 \cdot 4 = 16 \)<br />- Para \( n = 3 \): \( g(3) = 4 \cdot 4^{3-1} = 4 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64 \)<br /><br />Os termos calculados também não correspondem à progressão dada (4, 12, 36, 108, __). Portanto, a fórmula de Marcos também está incorreta.<br /><br />### Fórmula correta<br /><br />Para encontrar a fórmula correta, vamos observar a progressão dada: 4, 12, 36, 108, __.<br /><br />Podemos notar que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 3:<br />- \( 12 = 4 \times 3 \)<br />- \( 36 = 12 \times 3 \)<br />- \( 108 = 36 \times 3 \)<br /><br />Portanto, a fórmula correta é:<br />\[ g(n) = 4 \cdot 3^{n-1} \]<br /><br />Isso corresponde à fórmula de uma progressão geométrica onde o primeiro termo \( a \) é 4 e a razão \( r \) é 3.<br /><br />### Conclusão<br /><br />Nenhuma das fórmulas propostas por Caio e Marcos está correta. A fórmula correta para a progressão dada é:<br />\[ g(n) = 4 \cdot 3^{n-1} \]