[ log _(2) 400+log _(2) 400 mid-log _(3) 20-log _(3) 4 ] a) 1>0 B) 1=0 c) 1<0 D) =11 E) 0

Para resolver essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos. Vamos simplificar a expressão passo a passo:<br /><br />\[<br />\log _{2} 400+\log _{2} 400 - \log _{3} 20-\log _{3} 4<br />\]<br /><br />Podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\) para combinar os termos:<br /><br />\[<br />\log _{2} (400 \cdot 400) - \log _{3} (20 \cdot 4)<br />\]<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />\[<br />\log _{2} 160000 - \log _{3} 80<br />\]<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\) para combinar os termos:<br /><br />\[<br />\log _{2} \left(\frac{160000}{80}\right)<br />\]<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />\[<br />\log _{2} 2000<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular o valor exato de \(\log _{2} 2000\), mas para simplificar, podemos usar a mudança de base dos logaritmos para converter para logaritmos de base 10 ou base e. Vamos usar logaritmos de base 10:<br /><br />\[<br />\log _{2} 2000 = \frac{\log 2000}{\log 2}<br />\]<br /><br />Usando uma calculadora, encontramos que \(\log 2000 \approx 3.3010\) e \(\log 2 \approx 0.3010\):<br /><br />\[<br />\log _{2} 2000 \approx \frac{3.3010}{0.3010} \approx 11<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção D) \( =11 \).