4)O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x)=-5x^2+100x-80 onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) lucro_em reais . Determine: a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.

Para determinar o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos, precisamos encontrar o valor máximo da função $L(x)$.<br /><br />A função $L(x)$ é uma função quadrática, que possui a forma geral $L(x) = ax^2 + bx + c$, onde $a$, $b$ e $c$ são constantes.<br /><br />No caso da função dada, temos $a = -5$, $b = 100$ e $c = -80$.<br /><br />Para encontrar o valor máximo da função quadrática, podemos utilizar a fórmula do vértice da parábola, que é dada por $x = -\frac{b}{2a}$.<br /><br />Substituindo os valores de $a$ e $b$ na fórmula, temos:<br /><br />$x = -\frac{100}{2(-5)}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$x = \frac{100}{10}$<br /><br />$x = 10$<br /><br />Portanto, o número de produtos que precisam ser vendidos para obter o lucro máximo é 10.<br /><br />Para determinar o valor máximo do lucro, basta substituir o valor de $x$ encontrado na função $L(x)$:<br /><br />$L(10) = -5(10)^2 + 100(10) - 80$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$L(10) = -500 + 1000 - 80$<br /><br />$L(10) = 420$<br /><br />Portanto, o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos é R$ 420,00.