5) Determine o subespaço gerado do R^3 pelo seguinte conjunto A= (2,-1,3) 6) Mostre que S= v_(1),v_(2),v_(3)) geram o R^3 sendo v_(1)=(1,1,1),v_(2)=(0,1,1) e v_(3)=(0,0,1)

5) O subespaço gerado pelo conjunto $A=\{ (2,-1,3)\} $ em $R^{3}$ é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como combinações lineares dos vetores do conjunto $A$. Neste caso, o conjunto $A$ contém apenas um vetor, então o subespaço gerado é o conjunto próprio formado por esse vetor, ou seja, $\{ (2,-1,3)\} $.<br /><br />6) Para mostrar que o conjunto $S=\{ v_{1},v_{2},v_{3}\} $ gera o $R^{3}$, precisamos demonstrar que qualquer vetor em $R^{3}$ pode ser obtido como combinação linear dos vetores $v_{1}$, $v_{2}$ e $v_{3}$. <br /><br />Podemos escrever qualquer vetor em $R^{3}$ na forma $ (x,y,z) $, onde $x$, $y$ e $z$ são números reais. <br /><br />Podemos escrever $ (x,y,z) $ como combinação linear dos vetores $v_{1}$, $v_{2}$ e $v_{3}$ da seguinte forma:<br /><br />$(x,y,z) = x(1,1,1) + y(0,1,1) + z(0,0,1)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$(x,y,z) = (x, x, x) + (0, y, y) + (0, 0, z)$<br /><br />$(x,y,z) = (x, x+y, x+y+z)$<br /><br />Portanto, podemos ver que qualquer vetor em $R^{3}$ pode ser obtido como combinação linear dos vetores $v_{1}$, $v_{2}$ e $v_{3}$. Assim, o conjunto $S=\{ v_{1},v_{2},v_{3}\} $ gera o $R^{3}$.