10 Desemvolva, aplicando as propriedades das logaritmos a) log _(5)((5 a)/(b c)) c) log _(2)((a^2 sqrt(b))/(sqrt[3](c))) b) log _(3)((a b^2)/(c^2)) d) log sqrt((a b^3))/(c^(2))

Para resolver essas expressões usando as propriedades dos logaritmos, vamos aplicar as propriedades de forma a simplificar cada uma delas.<br /><br />a) \( \log _{5}\left(\frac{5 a}{b c}\right) \)<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma fração, que é a diferença entre os logaritmos dos numerador e do denominador, temos:<br /><br />\( \log _{5}\left(\frac{5 a}{b c}\right) = \log _{5}(5a) - \log _{5}(bc) \)<br /><br />Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo de um produto:<br /><br />\( \log _{5}(5a) = \log _{5}(5) + \log _{5}(a) \)<br /><br />E a propriedade do logaritmo de um produto:<br /><br />\( \log _{5}(bc) = \log _{5}(b) + \log _{5}(c) \)<br /><br />Portanto, a expressão fica:<br /><br />\( \log _{5}\left(\frac{5 a}{b c}\right) = \log _{5}(5) + \log _{5}(a) - \log _{5}(b) - \log _{5}(c) \)<br /><br />b) \( \log _{3}\left(\frac{a b^{2}}{c}\right) \)<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma fração, temos:<br /><br />\( \log _{3}\left(\frac{a b^{2}}{c}\right) = \log _{3}(ab^2) - \log _{3}(c) \)<br /><br />Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:<br /><br />\( \log _{3}(ab^2) = \log _{3}(a) + \log _{3}(b^2) \)<br /><br />E a propriedade do logaritmo de uma potência:<br /><br />\( \log _{3}(b^2) = 2\log _{3}(b) \)<br /><br />Portanto, a expressão fica:<br /><br />\( \log _{3}\left(\frac{a b^{2}}{c}\right) = \log _{3}(a) + 2\log _{3}(b) - \log _{3}(c) \)<br /><br />c) \( \log _{8}\left(\frac{a^{2} \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}\right) \)<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma fração, temos:<br /><br />\( \log _{8}\left(\frac{a^{2} \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}\right) = \log _{8}(a^2\sqrt{b}) - \log _{8}(\sqrt[3]{c}) \)<br /><br />Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:<br /><br />\( \log _{8}(a^2\sqrt{b}) = \log _{8}(a^2) + \log _{8}(\sqrt{b}) \)<br /><br />E a propriedade do logaritmo de uma potência:<br /><br />\( \log _{8}(a^2) = 2\log _{8}(a) \)<br /><br />E a propriedade do logaritmo de uma raiz:<br /><br />\( \log _{8}(\sqrt{b}) = \frac{1}{2}\log _{8}(b) \)<br /><br />E a propriedade do logaritmo de uma raiz:<br /><br />\( \log _{8}(\sqrt[3]{c}) = \frac{1}{3}\log _{8}(c) \)<br /><br />Portanto, a expressão fica:<br /><br />\( \log _{8}\left(\frac{a^{2} \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}\right) = 2\log _{8}(a) + \frac{1}{2}\log _{8}(b) - \frac{1}{3}\log _{8}(c) \)<br /><br />d) \( \log \sqrt{\frac{a b^{3}}{c^{2}}} \)<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma raiz:<br /><br />\( \log \sqrt{\frac{a b^{3}}{c^{2}}} = \frac{1}{2}\log \left(\frac{a b^{3}}{c^{2}}\right) \)<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma fração, temos:<br /><br />\( \log \left(\frac{a b^{3}}{c^{2}}\right) = \log (a b^3) - \log (c^2) \)<br /><br />Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:<br /><br />\(