a) 3^2 x+1 cdot 9^3 x-4=27^x+1

Para resolver essa equação, vamos igualar as bases dos termos e aplicar as propriedades das potências.<br /><br />Temos:<br /><br />\( 3^{2 x+1} \cdot 9^{3 x-4} = 27^{x+1} \)<br /><br />Podemos reescrever 9 e 27 como potências de 3:<br /><br />\( 9 = 3^2 \) e \( 27 = 3^3 \)<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />\( 3^{2 x+1} \cdot (3^2)^{3 x-4} = (3^3)^{x+1} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( 3^{2 x+1} \cdot 3^{6 x-8} = 3^{3 x+3} \)<br /><br />Agora, podemos aplicar a propried potências que diz que, ao multiplicar potências de mesma base, somamos os expoentes:<br /><br />\( 3^{(2 x+1) + (6 x-8)} = 3^{3 x+3} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( 3^{8 x-7} = 3^{3 x+3} \)<br /><br />Agora, igualamos os expoentes:<br /><br />\( 8 x - 7 = 3 x + 3 \)<br /><br />Resolvendo essa equação, temos:<br /><br />\( 8 x - 3 x = 3 + 7 \)<br /><br />\( 5 x = 10 \)<br /><br />\( x = 2 \)<br /><br />Portanto, a solução dessa equação é \( x = 2 \).