Opcional Nota: A resposta deste item é um número entre 0 e 99. Céos está brincando com os números . Ele pretende formar uma sequência (f(0),f(1),f(2),ldots ) onde, para todo n natural, f(n+2)-sqrt (2)f(n+1)+f(n)=0 Se f(0)=1 e f(1)=0 qual o número na posição 2024? square 1

Para resolver essa sequência, podemos usar o método de diagonalização. Primeiro, vamos reescrever a relação de recorrência dada:<br /><br />$f(n+2) = \sqrt{2}f(n+1) - f(n)$<br /><br />Podemos observar que essa relação de recorrência é uma diferença de segunda ordem, que pode ser escrita na forma de uma matriz de diferença de segunda ordem:<br /><br />$\begin{pmatrix}<br />0 & 1 & | & -\sqrt{2} & 1 \\<br />1 & 0 & | & -1 & \sqrt{2} \\<br />\end{pmatrix}$<br /><br />Podemos diagonalizar essa matriz para obter a forma diagonalizada. A matriz diagonalizada será da forma:<br /><br />$\begin{pmatrix}<br />\lambda_1 & 0 & | & 0 & 0 \\<br />0 & \lambda_2 & | & 0 & 0 \\<br />\end{pmatrix}$<br /><br />onde $\lambda_1$ e $\lambda_2$ são os autovalores da matriz original.<br /><br />Para encontrar os autovalores, podemos usar o determinante:<br /><br />$\det(\begin{pmatrix}<br />-\lambda & 1 & | & -\sqrt{2} & 1 \\<br />1 & -\lambda & | & -1 & \sqrt{2} \\<br />\end{pmatrix}) = 0$<br /><br />Resolvendo o determinante, encontramos os autovalores $\lambda_1 = \sqrt{2}$ e $\lambda_2 = -\sqrt{2}$.<br /><br />Agora, podemos escrever a forma diagonalizada da matriz de diferença de segunda ordem:<br /><br />$\begin{pmatrix}<br />\sqrt{2} & 0 & | & 0 & 0 \\<br />0 & -\sqrt{2} & | & 0 & 0 \\<br />\end{pmatrix}$<br /><br />A partir da forma diagonalizada, podemos ver que a sequência é uma combinação linear dos termos de potência de $\sqrt{2}$ e $-\sqrt{2}$.<br /><br />Podemos escrever a solução geral da forma:<br /><br />$f(n) = A\sqrt{2}^n + B(-\sqrt{2})^n$<br /><br />Usando as condições iniciais $f(0) = 1$ e $f(1) = 0$, podemos encontrar os valores de $A$ e $B$:<br /><br />$A + B = 1$<br /><br />$A\sqrt{2} - B\sqrt{2} = 0$<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos $A = 1$ e $B = -1$.<br /><br />Portanto, a solução geral da sequência é:<br /><br />$f(n) = \sqrt{2}^n - (-\sqrt{2})^n$<br /><br />Para encontrar o número na posição 2024, substituímos $n = 2024$ na solução geral:<br /><br />$f(2024) = \sqrt{2}^{2024} - (-\sqrt{2})^{2024}$<br /><br />Como $\sqrt{2}^{2024}$ é um número muito grande, o termo $(-\sqrt{2})^{2024}$ será muito pequeno em comparação. Portanto, podemos aproximar:<br /><br />$f(2024) \approx \sqrt{2}^{2024}$<br /><br />Portanto, o número na posição 2024 é aproximadamente $\sqrt{2}^{2024}$.