9) lim _(x arrow 0) (sqrt(x+9)-3)/(x)

Para resolver o limite \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x} \), podemos usar a técnica de racionalização do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é \( \sqrt{x+9}+3 \):<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)}{x(\sqrt{x+9}+3)} \)<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)} \)<br /><br />Agora, podemos cancelar o fator \( x \) no numerador e no denominador:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+9}+3} \)<br /><br />Quando \( x \) tende a 0, \( \sqrt{x+9} \) tende a \( \sqrt{9} = 3 \). Portanto, o limite é:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6} \)<br /><br />Portanto, a resposta correta é \( \frac{1}{6} \).