Para cada uma das seguintes funções, determine seu domínio e, se possivel, represente-0 graficamente no plano XY. Mesmo que você utilize um software para ajudá-lo(a) na representação do gráfico do domínio, é importante que desenhe, pois assim você ativará regiōes do cérebro que o(a) farão lembrar-se com mais facilidade da imagem associada. f(x,y)=sqrt (4(x-1)^2-y^2)

Para determinar o domínio da função \( f(x,y) = \sqrt{4(x-1)^2 - y^2} \), precisamos identificar os valores de \( x \) e \( y \) que tornam a expressão dentro da raiz não negativa, pois a raiz quadrada de um número negativo não é definida nos números reais.<br /><br />A expressão dentro da raiz é \( 4(x-1)^2 - y^2 \). Para que essa expressão seja não negativa, devemos ter:<br /><br />\[ 4(x-1)^2 - y^2 \geq 0 \]<br /><br />Podemos reescrever essa desigualdade como:<br /><br />\[ (2(x-1))^2 - y^2 \geq 0 \]<br /><br />\[ (2(x-1) - y)(2(x-1) + y) \geq 0 \]<br /><br />Para que o produto de dois números seja não negativo, ambos devem ser positivos ou ambos devem ser negativos. Portanto, temos duas condições:<br /><br />1. \( 2(x-1) - y \geq 0 \) e \( 2(x-1) + y \geq 0 \)<br />2. \( 2(x-1) - y \leq 0 \) e \( 2(x-1) + y \leq 0 \)<br /><br />Vamos resolver essas condições:<br /><br />1. \( 2(x-1) - y \geq 0 \) implica \( y \leq 2(x-1) \)<br />2. \( 2(x-1) + y \geq 0 \) implica \( y \geq -2(x-1) \)<br /><br />Para a segunda condição:<br /><br />1. \( 2(x-1) - y \leq 0 \) implica \( y \geq 2(x-1) \)<br />2. \( 2(x-1) + y \leq 0 \) implica \( y \leq -2(x-1) \)<br /><br />Portanto, o domínio da função é a região onde \( y \) está entre \( -2(x-1) \) e \( 2(x-1) \). Em termos de desigualdades lineares, isso pode ser representado como:<br /><br />\[ -2(x-1) \leq y \leq 2(x-1) \]<br /><br />Agora, vamos representar graficamente essa região no plano XY. A região é um triângulo com vértices em \( (1, -2) \), \( (1, 2) \) e \( (3, 0) \). Desenhe esses pontos e conecte-os para formar o triângulo. Isso ajudará a visualizar a região onde a função é definida.