12. lim _(xarrow -4)(x^2+5x+4)/(x^2)+3x-4

Para encontrar o limite da função dada quando x se aproxima de -4, podemos substituir x por -4 diretamente, pois o denominador não se anula nesse ponto.<br /><br />Substituindo x por -4, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -4}\frac {x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4} = \frac {(-4)^{2}+5(-4)+4}{(-4)^{2}+3(-4)-4}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -4}\frac {x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4} = \frac {16-20+4}{16-12-4}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -4}\frac {x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4} = \frac {0}{0}$<br /><br />Como o resultado é uma divisão por zero, precisamos simplificar a expressão antes de substituir o valor de x.<br /><br />Podemos fatorar o numerador e o denominador:<br /><br />$x^{2}+5x+4 = (x+4)(x+1)$<br /><br />$x^{2}+3x-4 = (x+4)(x-1)$<br /><br />Agora, podemos cancelar o fator comum (x+4) entre o numerador e o denominador:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -4}\frac {(x+4)(x+1)}{(x+4)(x-1)} = \lim _{x\rightarrow -4}\frac {x+1}{x-1}$<br /><br />Substituindo x por -4, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -4}\frac {x+1}{x-1} = \frac {-4+1}{-4-1}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -4}\frac {x+1}{x-1} = \frac {-3}{-5}$<br /><br />Portanto, o limite da função quando x se aproxima de -4 é $\frac{3}{5}$.