2 Seja transformação linear L: R^3arrow R^2 .com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) . Dete a) Seu nucleo. b) Le injetiva? Porqué?

Para resolver as questões sobre a transformação linear \( L \), vamos analisar cada uma delas:<br /><br />### a) Núcleo de \( L \)<br /><br />O núcleo de uma transformação linear \( L \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) em \( \mathbb{R}^2 \). Em outras palavras, precisamos encontrar todos os vetores \( (x, y, z) \) tal que \( L(x, y, z) = (0, 0) \).<br /><br />Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), igualamos a zero:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = 0 \\<br />2x + 3z = 0<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. Da primeira equação: \( y = -x \).<br />2. Da segunda equação: \( 2x + 3z = 0 \) \(\Rightarrow\) \( 3z = -2x \) \(\Rightarrow\) \( z = -\frac{2}{3}x \).<br /><br />Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça \( y = -x \) e \( z = -\frac{2}{3}x \) está no núcleo de \( L \). Isso significa que o núcleo de \( L \) é o conjunto de todos os vetores da forma \( (x, -x, -\frac{2}{3}x) \), que pode ser escrito como:<br /><br />\[<br />\text{núcleo de } L = \text{span}\{(1, -1, -\frac{2}{3}), (0, 0, 1)\}<br />\]<br /><br />### b) Injetividade de \( L \)<br /><br />Para determinar se \( L \) é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em \( \mathbb{R}^2 \) é imagem de exatamente um vetor em \( \mathbb{R}^3 \). Ou seja, precisamos verificar se a transformação é uma função injetora.<br /><br />Considere dois vetores \( (x_1, y_1, z_1) \) e \( (x_2, y_2, z_2) \) em \( \mathbb{R}^3 \). Se \( L(x_1, y_1, z_1) = L(x_2, y_2, z_2) \), então:<br /><br />\[<br />(x_1 + y_1, 2x_1 + 3z_1) = (x_2 + y_2, 2x_2 + 3z_2)<br />\]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[<br />x_1 + y_1 = x_2 + y_2 \quad \text{e} \quad 2x_1 + 3z_1 = 2x_2 + 3z_2<br />\]<br /><br />Resolvendo essas equações:<br /><br />1. \( x_1 + y_1 = x_2 + y_2 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 - x_2 = y_2 - y_1 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = x_2 \) e \( y_1 = y_2 \).<br />2. \( 2x_1 + 3z_1 = 2x_2 + 3z_2 \) \(\Rightarrow\) \( 2x_1 - 2x_2 = 3z_2 - 3z_1 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = x_2 \) e \( z_1 = z_2 \).<br /><br />Portanto, \( (x_1, y_1, z_1) = (x_2, y_2, z_2) \). Isso mostra que \( L \) é injetora.<br /><br />### Conclusão<br /><br />- **Núcleo de \( L \)**: \(\text{span}\{(1, -1, -\frac{2}{3}), (0, 0, 1)\}\)<br />- **Injetividade de \( L \)**: \( L \) é injetiva porque cada vetor em \( \mathbb{R}^2 \) é imagem de exatamente um vetor em \( \mathbb{R}^3 \).