Nos Exercicios de ache a derivada da função dada. 5. f(x)=(5-3x)^2/3 16. f(y)=3cossqrt [3](2y^2) 23 f(x)=(5-x^2)^1/2(x^3+1)^1/4 35. D_(z)((1)/(sqrt (1+cos^2)2z))

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para garantir a precisão das derivadas.<br /><br />### Exercício 5<br />\[ f(x) = (5 - 3x)^{2/3} \]<br /><br />Para derivar essa função, usamos a regra do quociente e a regra da cadeia.<br /><br />1. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a aplicação da regra da cadeia:<br />\[ f(x) = (5 - 3x)^{2/3} \]<br /><br />2. Aplicamos a regra da cadeia:<br />\[ f'(x) = \frac{2}{3} (5 - 3x)^{-1/3} \cdot (-3) \]<br /><br />3. Simplificamos:<br />\[ f'(x) = -2 (5 - 3x)^{-1/3} \]<br /><br />Portanto, a derivada de \( f(x) = (5 - 3x)^{2/3} \) é:<br />\[ f'(x) = -2 (5 - 3x)^{-1/3} \]<br /><br />### Exercício 16<br />\[ f(y) = 3 \cos \sqrt[3]{2y^2} \]<br /><br />Para derivar essa função, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.<br /><br />1. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a aplicação da regra da cadeia:<br />\[ f(y) = 3 \cos \left(2y^2\right)^{1/3} \]<br /><br />2. Derivamos a função externa:<br />\[ f'(y) = 3 \cdot (-\sin \left(2y^2\right)^{1/3}) \cdot \frac{d}{dy} \left(2y^2\right)^{1/3} \]<br /><br />3. Derivamos a função interna:<br />\[ \frac{d}{dy} \left(2y^2\right)^{1/3} = \frac{2^{1/3}}{3} \cdot 2y \]<br /><br />4. Aplicamos a regra da cadeia:<br />\[ f'(y) = 3 \cdot (-\sin \left(2y^2\right)^{1/3}) \cdot \frac{2^{1/3}}{3} \cdot 2y \]<br /><br />5. Simplificamos:<br />\[ f'(y) = -2^{4/3} y \sin \left(2y^2\right)^{1/3} \]<br /><br />Portanto, a derivada de \( f(y) = 3 \cos \sqrt[3]{2y^2} \) é:<br />\[ f'(y) = -2^{4/3} y \sin \left(2y^2\right)^{1/3} \]<br /><br />### Exercício 23<br />\[ f(x) = (5 - x^2)^{1/2} (x^3 + 1)^{1/4} \]<br /><br />Para derivar essa função, usamos a regra do produto.<br /><br />1. Derivamos a primeira função:<br />\[ u(x) = (5 - x^2)^{1/2} \]<br />\[ u'(x) = \frac{1}{2} (5 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) \]<br />\[ u'(x) = -\frac{x}{(5 - x^2)^{1/2}} \]<br /><br />2. Derivamos a segunda função:<br />\[ v(x) = (x^3 + 1)^{1/4} \]<br />\[ v'(x) = \frac{1}{4} (x^3 + 1)^{-3/4} \cdot 3x^2 \]<br />\[ v'(x) = \frac{3x^2}{4} (x^3 + 1)^{-3/4} \]<br /><br />3. Aplicamos a regra do produto:<br />\[ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \]<br />\[ f'(x) = -\frac{x}{(5 - x^2)^{1/2}} (x^3 + 1)^{1/4} + (5 - x^2)^{1/2} \frac{3x^2}{4} (x^3 + 1)^{-3/4} \]<br /><br />Portanto, a derivada de \( f(x) = (5 - x^2)^{1/2} (x^3 + 1)^{1/4} \) é:<br />\[ f'(x) = -\frac{x}{(5 - x^2)^{1/2}} (