(17) O produto das raíges de equaçāo 3^x+(1)/(3^x)=(4 sqrt(3))/(3) e

Para resolver essa equação, vamos primeiro simplificar a expressão \(3^x + \frac{1}{3^x}\) e igualá-la a \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\).<br /><br />Podemos reescrever \(\frac{1}{3^x}\) como \(3^{-x}\), então a equação fica:<br /><br />\(3^x + 3^{-x} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)<br /><br />Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por \(3^x\) para eliminar o denominador:<br /><br />\(3^x(3^x + 3^{-x}) = 3^x \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}\)<br /><br />Isso resulta em:<br /><br />\(3^{2x} + 1 = 4\sqrt{3}\)<br /><br />Agora, vamos isolar o termo \(3^{2x}\):<br /><br />\(3^{2x} = 4\sqrt{3} - 1\)<br /><br />Para encontrar o valor de \(x\), podemos usar logaritmos. Vamos aplicar o logaritmo de base 3 em ambos os lados da equação:<br /><br />\(\log_3(3^{2x}) = \log_3(4\sqrt{3} - 1)\)<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />\(2x = \log_3(4\sqrt{3} - 1)\)<br /><br />Finalmente, podemos encontrar o valor de \(x\) dividindo ambos os lados por 2:<br /><br />\(x = \frac{\log_3(4\sqrt{3} - 1)}{2}\)<br /><br />Portanto, a solução para a equação é \(x = \frac{\log_3(4\sqrt{3} - 1)}{2}\).