19. Considere o plano pi dada pela equação vetorial pi :X=(1,-1,1)+alpha (0,1,2)+beta (1,-1,0),C,,in R (a) Verifique se o ponto P=(2,0,1)in pi (b) Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P que é perpendicular a plano pi

(a) Para verificar se o ponto \( P = (2, 0, 1) \) pertence ao plano \( \pi \), substituímos as coordenadas de \( P \) na equação vetorial do plano:<br /><br />\[ P = (1, -1, 1) + \alpha (0, 1, 2) + \beta (1, -1, 0) \]<br /><br />Substituindo \( P \) na equação, temos:<br /><br />\[ (2, 0, 1) = (1, -1, 1) + \alpha (0, 1, 2) + \beta (1, -1, 0) \]<br /><br />Isso resulta em um sistema de equações:<br /><br />\[ 1 + \alpha + \beta = 2 \]<br />\[ -1 + \alpha - \beta = 0 \]<br />\[ 1 + 2\alpha = 1 \]<br /><br />Resolvendo o sistema, encontramos:<br /><br />\[ \alpha = 0 \]<br />\[ \beta = 1 \]<br /><br />Como \( \alpha = 0 \) e \( \beta = 1 \) são soluções reais, o ponto \( P \) pertence ao plano \( \pi \).<br /><br />(b) Para determinar a equação vetorial da reta \( r \) que passa pelo ponto \( P \) e é perpendicular ao plano \( \pi \), precisamos encontrar um vetor normal ao plano \( \pi \). Um vetor normal pode ser obtido pela soma vetorial dos vetores que formam as direções do plano:<br /><br />\[ \vec{n} = (0, 1, 2) + (1, -1, 0) = (1, 0, 2) \]<br /><br />Portanto, a equação vetorial da reta \( r \) é:<br /><br />\[ r: P = (2, 0, 1) + \alpha (1, 0, 2) \]<br /><br />onde \( \alpha \) é um parâmetro real.