(c) lim _(xarrow 1)(sqrt [4](x^3)-1)/(sqrt [6](x)-1)

Para resolver o limite dado, podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos permite tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente e depois calcular o limite novamente.<br /><br />Vamos começar derivando o numerador e o denominador:<br /><br />$\frac{d}{dx}(\sqrt[4]{x^3} - 1) = \frac{3}{4}x^{-1/4}$<br /><br />$\frac{d}{dx}(\sqrt[6]{x} - 1) = \frac{1}{6}x^{-5/6}$<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[4]{x^3} - 1}{\sqrt[6]{x} - 1} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{3}{4}x^{-1/4}}{\frac{1}{6}x^{-5/6}}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3}{4}x^{-1/4} \cdot \frac{6}{1}x^{5/6} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{18}{4}x^{4/6} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{9}{2}x^{2/3}$<br /><br />Agora, podemos substituir $x = 1$ na expressão:<br /><br />$\frac{9}{2} \cdot 1^{2/3} = \frac{9}{2} \cdot 1 = \frac{9}{2}$<br /><br />Portanto, o limite é $\frac{9}{2}$.