Continuidade clas f(x,y)= ) (xcdot y^2)/(x^2)+y^(2)&x&(x,y)neq (varphi _(0)) 0&(x,y)=(varphi _(0))

função dada é contínua em todos os pontos, exceto em $(\varphi_0)$. Para verificar a continuidade em $(\varphi_0)$, precisamos verificar se o limite da função existe nesse ponto.<br /><br />Para isso, vamos calcular o limite da função quando $(x, y)$ se aproxima de $(\varphi_0)$.<br /><br />$\lim_{{(x, y) \to (\varphi_0)}} f(x, y) = \lim_{{(x, y) \to (\varphi_0)}} \frac{x \cdot y^2}{x^2 + y^2}$<br /><br />Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por $x^2$:<br /><br />$\lim_{{(x, y) \to (\varphi_0)}} \frac{x \cdot y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{{(x, y) \to (\varphi_0)}} \frac{y^2}{1 + \frac{y^2}{x^2}}$<br /><br />Quando $(x, y)$ se aproxima de $(\varphi_0)$, $\frac{y^2}{x^2}$ se aproxima de zero, pois $y$ se aproxima de zero mais rápido que $x$. Portanto, o limite é:<br /><br />$\lim_{{(x, y) \to (\varphi_0)}} \frac{y^2}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$<br /><br />Portanto, o limite da função existe em $(\varphi_0)$ e é igual a zero. No entanto, a função é definida como zero em $(\varphi_0)$, o que significa que a função é contínua em $(\varphi_0)$. Portanto, a função é contínua em todos os pontos.