Seja f:Rarrow R definida por: f(x)= ) -x-1,sexleqslant -1 -x^2+1,se-1lt xlt 1 x-1,sexgeqslant 1 o conjunto imagem de f é dado por: A ]-infty ,-1] B ]-infty ,1] [0,+infty D [1,+infty E [-1,1]

Para determinar o conjunto imagem de \( f \), precisamos analisar o comportamento da função em cada intervalo definido.<br /><br />1. Para \( x \leq -1 \), temos \( f(x) = -x - 1 \). Como \( x \) é negativo ou zero, \( -x \) será positivo ou zero, e \( -x - 1 \) será menor ou igual a -2. Portanto, o conjunto imagem para esse intervalo é \( ]-\infty, -2] \).<br /><br />2. Para \( -1 < x < 1 \), temos \( f(x) = -x^2 + 1 \). Como \( x^2 \) é sempre positivo ou zero, \( -x^2 \) será sempre negativo ou zero, e \( -x^2 + 1 \) será sempre menor ou igual a 1. Portanto, o conjunto imagem para esse intervalo é \( ]-\infty, 1] \).<br /><br />3. Para \( x \geq 1 \), temos \( f(x) = x - 1 \). Como \( x \) é maior ou igual a 1, \( x - 1 \) será maior ou igual a 0. Portanto, o conjunto imagem para esse intervalo é \( [0, +\infty[ \).<br /><br />Somando todos os intervalos de imagem, temos \( ]-\infty, -2] \cup ]-\infty, 1] \cup [0, +\infty[ \). Simplificando, obtemos \( ]-\infty, 1] \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção B: \( ]-\infty, 1] \).