10) A circunferência de centro C está inscrita no triângulo equilátero PQR, cujos lados medem 12sqrt (3) cm. a) Calcule a medida da altura do triângulo. b) Determine a área do triângulo. c) Qualé a área da região sombreada, interna ao triângulo e externa à circunferência?

Para resolver as questões, vamos seguir os passos detalhados:<br /><br />### a) Calcular a medida da altura do triângulo<br /><br />Para um triângulo equilátero, a altura pode ser calculada usando a fórmula:<br /><br />\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{lado} \]<br /><br />Dado que o lado do triângulo é \(12\sqrt{3}\) cm:<br /><br />\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12\sqrt{3} \]<br />\[ h = \frac{12 \times 3}{2} \]<br />\[ h = 18 \text{ cm} \]<br /><br />Portanto, a altura do triângulo é 18 cm.<br /><br />### b) Determinar a área do triângulo<br /><br />A área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \]<br /><br />Dado que a base é \(12\sqrt{3}\) cm e a altura é 18 cm:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 18 \]<br />\[ \text{Área} = 108\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]<br /><br />Portanto, a área do triângulo é \(108\sqrt{3}\) cm².<br /><br />### c) Calcular a área da região sombreada interna ao triângulo e externa à circunferência<br /><br />Para calcular a área da região sombreada, precisamos subtrair a área da circunferência da área do triângulo.<br /><br />#### Área da circunferência<br /><br />A circunferência inscrita no triângulo equilátero tem um raio igual à altura do triângulo dividida por 2:<br /><br />\[ r = \frac{h}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm} \]<br /><br />A área da circunferência é:<br /><br />\[ \text{Área da circunferência} = 2\pi r \]<br />\[ \text{Área da circunferência} = 2\pi \times 9 \]<br />\[ \text{Área da circunferência} = 18\pi \text{ cm}^2 \]<br /><br />#### Área da região sombreada<br /><br />A área da região sombreada é a área do triângulo menos a área da circunferência:<br /><br />\[ \text{Área sombreada} = \text{Área do triângulo} - \text{Área da circunferência} \]<br />\[ \text{Área sombreada} = 108\sqrt{3} - 18\pi \text{ cm}^2 \]<br /><br />Portanto, a área da região sombreada interna ao triângulo e externa à circunferência é \(108\sqrt{3} - 18\pi\) cm².