5. Calcule: ((-1+5 i)/(2+3 i))^2 6- Exetue: (1+i)^2((3)/(5-i)+(1-i)/(1+i)) 7. Determine a eb, de modo que a+b i=(21+3 i)/(5-2 i) 8-Dados z_(1)=1-i, z_(2)=2+4 i, z_(3)=2+i calcule a valor da expressais: [ (z_(1)^2-z_(2))((z_(2)+z_(3))/(z_(1))) ]

5. Para calcular \( \left(\frac{-1+5 i}{2+3 i}\right)^{2} \), primeiro devemos simplificar a fração dentro dos parênteses. Multiplicando o numerador e o denominador por \(2-3i\) (conjugado do denominador), temos:<br /><br />\[<br />\frac{(-1+5i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{-2+3i+10i-15i^2}{4-9i^2} = \frac{-2+13i+15}{4+9} = \frac{13+13i}{13} = 1+i<br />\]<br /><br />Agora, elevamos \(1+i\) ao quadrado:<br /><br />\[<br />(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(2i\).<br /><br />6. Para efetuar a expressão \( (1+i)^{2}\left(\frac{}+\frac{1-i}{1+i}\right) \), primeiro devemos simplificar cada parte dentro dos parênteses.<br /><br />Calculando \( (1+i)^2 \):<br /><br />\[<br />(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i<br />\]<br /><br />Agora, simplificando a soma dentro dos parênteses:<br /><br />\[<br />\frac{3}{1-i} + \frac{1-i}{1+i}<br />\]<br /><br />Multiplicando o primeiro termo por \(1+i\) e o segundo termo por \(1-i\):<br /><br />\[<br />\frac{3(1+i)}{(1-i)(1+i)} + \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3+3i}{1-i^2} + \frac{1-i^2}{1-i^2} = \frac{3+3i}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3+3i+2}{2} = \frac{5+3i}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, a expressão completa é:<br /><br />\[<br />(1+i)^2 \left( \frac{3}{1-i} + \frac{1-i}{1+i} \right) = 2i \cdot \frac{5+3i}{2} = (5+3i)i = -3 + 5i<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(-3 + 5i\).<br /><br />7. Para determinar \(a\) e \(b\) de modo que \(a+bi=\frac{4+3i}{5-2i}\), primeiro devemos simplificar a fração dentro dos parênteses. Multiplicando o numerador e o denominador por \(5+2i\) (conjugado do denominador), temos:<br /><br />\[<br />\frac{(4+3i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = \frac{20+8i+15i+6i^2}{25-4i^2} = \frac{20+23i+6}{25+4} = \frac{26+23i}{29}<br />\]<br /><br />Portanto, \(a+bi = \frac{26+23i}{29}\). Comparando os coeficientes reais e imaginários, temos:<br /><br />\[<br />a = \frac{26}{29} \quad \text{e} \quad b = \frac{23}{29}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(a = \frac{26}{29}\) e \(b = \frac{23}{29}\).<br /><br />8. Para calcular o valor da expressão \(\left(z_{1}^{2}-z_{2}\right)\left(\frac{z_{2}+z_{3}}{z_{1}}\right)\), primeiro devemos calcular \(z_1^2\), \(z_2\) e \(z_3\).<br /><br />Calculando \(z_1^2\):<br /><br />\[<br />z_1 = 3-i \implies z_1^2 = (3-i)^2 = 9 - 6i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i<br />\]<br /><br />Calculando \(z_2 + z_3\):<br /><br />\[<br />z_2 = 2+4i \quad \text{e} \quad z_3 = 2+i \implies z_2 + z_3 = (2+4i) + (2+i) = 4 + 5