9. Calcule as integrais indefinidas, por partes: a) int xcdot e^xdx b) int xcdot senxdx

Para calcular as integrais indefinidas por partes, utilizamos a fórmula:<br /><br />\[<br />\int u \, dv = uv - \int v \, du<br />\]<br /><br />Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das integrais fornecidas:<br /><br />### a) \(\int x \cdot e^x \, dx\)<br /><br />Para isso, escolhemos:<br />- \(u = x\) (assim, \(du = dx\))<br />- \(dv = e^x \, dx\) (assim, \(v = e^x\))<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes:<br /><br />\[<br />\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx<br />\]<br /><br />Calculando a integral restante:<br /><br />\[<br />\int e^x \, dx = e^x<br />\]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[<br />\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.<br /><br />### b) \(\int x \cdot \sin x \, dx\)<br /><br />, escolhemos:<br />- \(u = x\) (assim, \(du = dx\))<br />- \(dv = \sin x \, dx\) (assim, \(v = -\cos x\))<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes:<br /><br />\[<br />\int x \cdot \sin x \, dx = x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cdot \cos x + \int \cos x \, dx<br />\]<br /><br />Calculando a integral restante:<br /><br />\[<br />\int \cos x \, dx = \sin x<br />\]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[<br />\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cdot \cos x + \sin x + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.<br /><br />### Resumo<br /><br />- a) \(\int x \cdot e^x \, dx = e^x (x - 1) + C\)<br />- b) \(\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cdot \cos x + \sin x + C\)