12. Ao ser simplificac la, a expressão sqrt (11+sqrt (40))-sqrt (11-sqrt (40)) em um número: A) primo B ) irracional C)múltiplo de 3 D)racional não inteiro

Para simplificar a expressão \(\sqrt{11 + \sqrt{40}} - \sqrt{11 - \sqrt{40}}\), vamos denotar essa expressão por \(x\):<br /><br />\[ x = \sqrt{11 + \sqrt{40}} - \sqrt{11 - \sqrt{40}} \]<br /><br />Queremos encontrar \(x^2\):<br /><br />\[ x^2 = \left( \sqrt{11 + \sqrt{40}} - \sqrt{11 - \sqrt{40}} \right)^2 \]<br /><br />Expansando o quadrado, temos:<br /><br />\[ x^2 = \left( \sqrt{11 + \sqrt{40}} \right)^2 - 2 \sqrt{11 + \sqrt{40}} \sqrt{11 - \sqrt{40}} + \left( \sqrt{11 - \sqrt{40}} \right)^2 \]<br /><br />\[ x^2 = (11 + \sqrt{40}) - 2 \sqrt{(11 + \sqrt{40})(11 - \sqrt{40})} + (11 - \sqrt{40}) \]<br /><br />\[ x^2 = 11 + \sqrt{40} + 11 - \sqrt{40} - 2 \sqrt{(11 + \sqrt{40})(11 - \sqrt{40})} \]<br /><br />\[ x^2 = 22 - 2 \sqrt{(11 + \sqrt{40})(11 - \sqrt{40})} \]<br /><br />Agora, vamos calcular o produto dentro da raiz:<br /><br />\[ (11 + \sqrt{40})(11 - \sqrt{40}) = 11^2 - (\sqrt{40})^2 \]<br /><br />\[ = 121 - 40 \]<br /><br />\[ = 81 \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ x^2 = 22 - 2 \sqrt{81} \]<br /><br />\[ x^2 = 22 - 2 \cdot 9 \]<br /><br />\[ x^2 = 22 - 18 \]<br /><br />\[ x^2 = 4 \]<br /><br />\[ x = \pm 2 \]<br /><br />Como estamos lidando com raízes quadradas, \(x\) deve ser não negativo, então:<br /><br />\[ x = 2 \]<br /><br />Portanto, a expressão \(\sqrt{11 + \sqrt{40}} - \sqrt{11 - \sqrt{40}}\) é igual a 2, que é um número inteiro. Portanto, a resposta correta é:<br /><br />A) primo