1. Considere um círculo de raio 4 cm . Calcule a área do triângulo, do quadrilátero, do hexágono e do octógono inscrito no círculo todos regulares.

Para calcular a área de cada figura inscrita no círculo, podemos usar a fórmula da área de cada figura e as propriedades de um círculo de raio 4 cm.<br /><br />1. Triângulo: Um triângulo regular inscrito em um círculo é conhecido como um triângulo equilátero inscrito. A área de um triângulo equilátero pode ser calculada usando a fórmula: Área = (s² * √3) / 4, onde s é o comprimento de um dos lados do triângulo. No caso de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio 4 cm, o comprimento de cada lado é igual ao raio do círculo multiplicado por 2 * √3 / 2 = 4 * √3 cm. Portanto, a área do triângulo é: Área = (4² * √3) / 4 = 4√3 cm².<br /><br />2. Quadrilátero: Um quadrilátero regular inscrito em um círculo é conhecido como um quadrado. A área de um quadrado pode ser calculada usando a fórmula: Área = lado². No caso de um quadrado inscrito em um círculo de raio 4 cm, o comprimento de cada lado é igual ao raio do círculo multiplicado por 2 = 4 * 2 = 8 cm. Portanto, a área do quadrilátero é: Área = 8² = 64 cm².<br /><br />3. Hexágono: Um hexágono regular inscrito em um círculo é conhecido como um hexágono regular. A área de um hexágono regular pode ser calculada usando a fórmula: Área = (3 * √3 * a²) / 2, onde a é o comprimento de um dos lados do hexágono. No caso de um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 4 cm, o comprimento de cada lado é igual ao raio do círculo multiplicado por 2 * √3 = 4 * 2√3 cm. Portanto, a área do hexágono é: Área = (3 * √3 * (4 * 2√3)²) / 2 = 3 * √3 * 48 / 2 = 72√3 cm².<br /><br />4. Octógono: Um octógono regular inscrito em um círculo é conhecido como um octógono regular. A área de um octógono regular pode ser calculada usando a fórmula: Área = (1 + √2) * a², onde a é o comprimento de um dos lados do octógono. No caso de um octógono regular inscrito em um círculo de raio 4 cm, o comprimento de cada lado é igual ao raio do círculo multiplicado por 2 * √2 / 2 = 4 * √2 cm. Portanto, a área do octógono é: Área = (1 + √2) * (4 * √2)² = (1 + √2) * 16 = 16 + 16√2 cm².<br /><br />Portanto, as áreas dos figuras inscritas no círculo são:<br />- Triângulo: 4√3 cm²<br />- Quadrilátero: 64 cm²<br />- Hexágono: 72√3 cm²<br />- Octógono: 16 + 16√2 cm².