Uma bola, ao ser chutada em um tiro de meta por um goleiro, em uma partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela função h(t)=-t^2+4t com tgeqslant 0 onde té o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Assinale a alternativa que corresponde respectivamente ao instante em que a bola retornará ao solo após seu lançamento e a altura máxima atingida pela bola. Selecione uma alternativa: a) 4se4m b) 4se8m C) 0se4m C d) 2se4m e) 2se8m

Para determinar o instante em que a bola retornará ao solo após seu lançamento e a altura máxima atingida pela bola, podemos analisar a função $h(t)=-t^{2}+4t$.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar o instante em que a bola retornará ao solo. Para isso, precisamos encontrar o valor de $t$ quando $h(t)=0$. Substituindo $h(t)$ por 0 na função, temos:<br /><br />$-t^{2}+4t=0$<br /><br />Fatorando a expressão, temos:<br /><br />$t(-t+4)=0$<br /><br />Portanto, temos duas soluções: $t=0$ e $t=4$. No entanto, o tempo não pode ser negativo, então descartamos a solução $t=0$. Portanto, o instante em que a bola retornará ao solo será em $t=4$ segundos.<br /><br />Agora, vamos encontrar a altura máxima atingida pela bola. Para isso, precisamos encontrar o valor máximo da função $h(t)$. Podemos fazer isso encontrando o vértice da parábola representada pela função.<br /><br />A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola da forma $ax^{2}+bx+c$ é dada por $x=-\frac{b}{2a}$. No caso da função $h(t)=-t^{2}+4t$, temos $a=-1$ e $b=4$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$t=-\frac{4}{2(-1)}=2$<br /><br />Portanto, o vértice da parábola é dado por $(2, h(2))$. Substituindo $t=2$ na função $h(t)$, temos:<br /><br />$h(2)=-2^{2}+4(2)=-4+8=4$<br /><br />Portanto, a altura máxima atingida pela bola será de 4 metros.<br /><br />Assim, a alternativa correta é a letra a) $4s e 4m$.