3. Mostre que os pontos (-2,9),(4,6),(1,0) e (-5,3) são os vér- tices de um quadrado.

Para mostrar que os pontos $(-2,9)$, $(4,6)$, $(1,0)$ e $(-5,3)$ são os vértices de um quadrado, podemos verificar se eles satisfazem as propriedades de um quadrado, como a igualdade dos lados e a perpendicularidade dos lados adjacentes.<br /><br />Vamos calcular as distâncias entre os pontos:<br /><br />1. Distância entre $(-2,9)$ e $(4,6)$:<br />\[ \sqrt{(4 - (-2))^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \]<br /><br />2. Distância entre $(4,6)$ e $(1,0)$:<br />{(1 - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \]<br /><br />3. Distância entre $(1,0)$ e $(-5,3)$:<br />\[ \sqrt{(-5 - 1)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \]<br /><br />4. Distância entre $(-5,3)$ e $(-2,9)$:<br />\[ \sqrt{(-2 - (-5))^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \]<br /><br />Como todas as distâncias são iguais a $\sqrt{45}$, os lados do quadrado são iguais.<br /><br />Agora, vamos verificar a perpendicularidade dos lados adjacentes usando a fórmula do produto escalar:<br /><br />Para os lados $(-2,9)$ e $(4,6)$:<br />\[ \vec{AB} = (4 - (-2), 6 - 9) = (6, -3) \]<br />\[ \vec{AB} \cdot \vec{AB} = 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45 \]<br /><br />Para os lados $(4,6)$ e $(1,0)$:<br />\[ \vec{BC} = 0 - 6) = (-3, -6) \]<br />\[ \vec{BC} \cdot \vec{BC} = (-3)^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45 \]<br /><br />Para os lados $(1,0)$ e $(-5,3)$:<br />\[ \vec{CD} = (-5 - 1, 3 - 0) = (-6, 3) \]<br />\[ \vec{CD} \cdot \vec{CD} = (-6)^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \]<br /><br />Para os lados $(-5,3)$ e $(-2,9)$:<br />\[ \vec{DA} = (-2 - (-5), 9 - 3) = (3, \vec{DA} \cdot \vec{DA} = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \]<br /><br />Como o produto escalar de cada par de lados adjacentes é igual a 45, os lados são perpendiculares.<br /><br />Portanto, os pontos $(-2,9)$, $(4,6)$, $(1,0)$ e $(-5,3)$ são os vértices de um quadrado.