Carlos tomou a primeira dose de um remédio receitado pelo médico. A relação entre o tempo decorrido t, em horas, desde que ele tomou a primeira dose e a quantidade do remédio, M(t) , em miligramas (mg) em sua corrente sanguínea é modelada pela função a seguir. M(t)=20cdot e^-0,8t Em quantas horas Carlos vai ter 1 mg de remédio restante em sua corrente sanguínea? Arredonde sua resposta, se necessário, para a segunda casa decimal. square horas

Para determinar em quantas horas Carlos vai ter 1 mg de remédio restante em sua corrente sanguínea, precisamos encontrar o valor de \( t \) para o qual \( M(t) = 1 \).<br /><br />A função dada é:<br />\[ M(t) = 20 \cdot e^{-0,8t} \]<br /><br />Queremos encontrar \( t \) para o qual \( M(t) = 1 \):<br />\[ 1 = 20 \cdot e^{-0,8t} \]<br /><br />Dividimos ambos os lados da equação por 20:<br />\[ \frac{1}{20} = e^{-0,8t} \]<br /><br />Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação para resolver para \( t \):<br />\[ \ln\left(\frac{1}{20}\right) = \ln\left(e^{-0,8t}\right) \]<br /><br />Usamos a propriedade do logaritmo natural de \( e \):<br />\[ \ln\left(e^{-0,8t}\right) = -0,8t \]<br /><br />Portanto, temos:<br />\[ \ln\left(\frac{1}{20}\right) = -0,8t \]<br /><br />Calculamos \( \ln\left(\frac{1}{20}\right) \):<br />\[ \ln\left(\frac{1}{20}\right) = \ln(1) - \ln(20) \]<br />\[ \ln(1) = 0 \]<br />\[ \ln\left(\frac{1}{20}\right) = -(20) \]<br /><br />Usamos uma calculadora para encontrar \( \ln(20) \):<br />\[ \ln(20) \approx 2,9956 \]<br /><br />Portanto:<br />\[ \ln\left(\frac{1}{20}\right) \approx -2,9956 \]<br /><br />Substituímos na equação:<br />\[ -2,9956 = -0,8t \]<br /><br />Dividimos ambos os lados por -0,8:<br />\[ t = \frac{-2,9956}{-0,8} \]<br />\[ t \approx 3,7445 \]<br /><br />Arredondando para a segunda casa decimal:<br />\[ t \approx 3,74 \]<br /><br />Portanto, Carlos vai ter 1 mg de remédio restante em sua corrente sanguínea aproximadamente em 3,74 horas.