2) ealale (2 z)/(2 u)=(2 z)/(2 v) a) z=x^2 y x=(u)/(v) y=u^2 3) Determine uma equacóo do plano tangente e uma equacóo daneta monmal ao hiperbobide x^2-2 y^2-4 z^2=10 no ponto (4,-1,1)

Para resolver a expressão \( \frac{2z}{2u} = \frac{2z}{2v} \), podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 2:<br /><br />\( \frac{z}{u} = \frac{z}{v} \)<br /><br />Agora, podemos cancelar o termo comum \( z \) em ambos os lados da equação:<br /><br />\( \frac{1}{u} = \frac{1}{v} \)<br /><br />Para que essa igualdade seja verdadeira, os denominadores \( u \) e \( v \) devem ser iguais:<br /><br />\( u = v \)<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />b) \( u = v \)<br /><br />Para determinar a equação do plano tangente e a equação da reta normal ao hiperbolóide \( x^{2}-2y^{2}-4z^{2}=10 \) no ponto \( (4,-1,1) \), precisamos calcular o gradiente da função \( f(x,y,z) = x^{2}-2y^{2}-4z^{2} \) nesse ponto.<br /><br />Calculando as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x \), \( y \) e \( z \), temos:<br /><br />\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \)<br />\( \frac{\partial f}{\partial y} = -4y \)<br />\( \frac{\partial f}{\partial z} = -8z \)<br /><br />Avaliando essas derivadas no ponto \( (4,-1,1) \), temos:<br /><br />\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(4) = 8 \)<br />\( \frac{\partial f}{\partial y} = -4(-1) = 4 \)<br />\( \frac{\partial f}{\partial z} = -8(1) = -8 \)<br /><br />Portanto, o gradiente da função \( f \) no ponto \( (4,-1,1) \) é \( (8,4,-8) \).<br /><br />A equação do plano tangente é dada por:<br /><br />\( 8(x-4) + 4(y+1) - 8(z-1) = 0 \)<br /><br />Simplificando essa equação, temos:<br /><br />\( 8x - 32 + 4y + 4 - 8z + 8 = 0 \)<br /><br />\( 8x + 4y - 8z - 20 = 0 \)<br /><br />Dividindo todos os termos por 4, temos:<br /><br />\( 2x + y - 2z - 5 = 0 \)<br /><br />Portanto, a equação do plano tangente é \( 2x + y - 2z - 5 = 0 \).<br /><br />A equação da reta normal é dada por:<br /><br />\( \frac{x-4}{8} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-1}{-8} \)<br /><br />Portanto, a equação da reta normal é \( \frac{x-4}{8} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-1}{-8} \).