5) int _(0)^2(4x)/(x^2)+1dx

Para resolver a integral \(\int _{0}^{2}\frac {4x}{x^{2}+1}dx\), podemos usar uma substituição simples. Vamos fazer a substituição \(u = x^2 + 1\). Então, a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é \(du = 2x \, dx\), ou seja, \(2x \, dx = du\).<br /><br />Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável \(u\):<br /><br />- Quando \(x = 0\), \(u = 0^2 + 1 = 1\).<br />- Quando \(x = 2\), \(u = 2^2 + 1 = 5\).<br /><br />A integral original se transforma em:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{5} \frac{4}{2} \, du = 2 \int_{1}^{5} \, du<br />\]<br /><br />Calculando essa integral, temos:<br /><br />\[<br />2 \int_{1}^{5} \, du = 2 [u]_{1}^{5} = 2 (5 - 1) = 2 \times 4 = 8<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral é \(8\).