QUEST 0 13 Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura h , em relação ao solo, é dada , em função do tempo, pela função h=-5t^2+ 120t+10 , em que o tempo é dado em segundos e a altura é dada em metros. a) Qual a altura do foguete 2 segundos depois de lançado? b) Q uanto tempo é necessári o para o foguete atingir a altura de 485 metros?

Para resolver as questões, vamos usar a função \( h = -5t^2 + 120t + 10 \).<br /><br />### a) Altura do foguete 2 segundos depois de lançado<br /><br />Substituímos \( t = 2 \) na função:<br /><br />\[ h = -5(2)^2 + 120(2) + 10 \]<br /><br />Calculando:<br /><br />\[ h = -5(4) + 240 + 10 \]<br />\[ h = -20 + 240 + 10 \]<br />\[ h = 230 \]<br /><br />Portanto, a altura do foguete 2 segundos depois de lançado é 230 metros.<br /><br />### b) Tempo necessário para o foguete atingir a altura de 485 metros<br /><br />Para encontrar o tempo necessário, resolvemos a equação \( h = 485 \):<br /><br />\[ -5t^2 + 120t + 10 = 485 \]<br /><br />Primeiro, reorganizamos a equação:<br /><br />\[ -5t^2 + 120t + 10 - 485 = 0 \]<br />\[ -5t^2 + 120t - 475 = 0 \]<br /><br />Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática \( at^2 + bt + c = 0 \):<br /><br />\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde \( a = -5 \), \( b = 120 \) e \( c = -475 \).<br /><br />Calculamos o discriminante (\( \Delta \)):<br /><br />\[ \Delta = b^2 - 4ac \]<br />\[ \Delta = 120^2 - 4(-5)(-475) \]<br />\[ \Delta = 14400 - 9500 \]<br />\[ \Delta = 4900 \]<br /><br />Agora, calculamos as raízes:<br /><br />\[ t = \frac{-120 \pm \sqrt{4900}}{2(-5)} \]<br />\[ t = \frac{-120 \pm 70}{-10} \]<br /><br />Calculando as duas raízes:<br /><br />\[ t_1 = \frac{-120 + 70}{-10} = \frac{-50}{-10} = 5 \]<br />\[ t_2 = \frac{-120 - 70}{-10} = \frac{-190}{-10} = 19 \]<br /><br />Portanto, as soluções são \( t = 5 \) segundos e \( t = 19 \) segundos. Como estamos procurando o menor tempo necessário para atingir a altura de 485 metros, a resposta é \( t = 5 \) segundos.